← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.6.1.212992_303104_516096.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 6\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
12
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 12 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 12 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-263834949806066703809709066268a^{2} - 538824413981795393077329486064a + 291395241545218581678394305868 )x^{47} + (-505607990029626931240955489756a^{2} + 279192625288420023310222353460a - 553211727699765826771444600068 )x^{46} + (-273271559517566403568288490368a^{2} + 476814966370673399592750326628a + 44248888829242510760252217232 )x^{45} + (-283426234364967000687494234108a^{2} + 254857858636961467058675893968a - 532786147996475598865593193756 )x^{44} + (296613289628510630207820164160a^{2} + 278856468199952541351194379928a + 411849431391305686339239420416 )x^{43} + (576645199741480457439091703994a^{2} - 339653642532096669921335591902a - 253275930944228637047535633120 )x^{42} + (384188414152843219679527253904a^{2} + 92249598670374746697287293348a - 399972099249197039870501883628 )x^{41} + (280813939510616447363256647520a^{2} - 332578543423485178635518404916a + 356768882199899398683885872140 )x^{40} + (-340557891975876201303120613920a^{2} - 127193713377128313976521129812a + 284917754030385279171756045040 )x^{39} + (156387051324608200450286587496a^{2} - 246595800786803129333632201864a + 318246415708213920260895952880 )x^{38} + (-194967807502517921359761332052a^{2} - 82841790380860777487824988520a - 289012891767171212172596051020 )x^{37} + (-387129929091529907525809638364a^{2} - 62828517969098991913450896352a + 587084962643962412201046913892 )x^{36} + (166388852055411612088428736592a^{2} - 280942783917080790908511513128a - 196221546079181628089833307120 )x^{35} + (394304121534324178046765225364a^{2} + 238443060459126330965536416536a + 345840683163628346421877720572 )x^{34} + (632581908959245829654441632740a^{2} + 104487881853165444225371190000a + 9887863413599385205622408176 )x^{33} + (32091528911989179583510198580a^{2} - 363617997695391166565131564732a + 584981323914425898835744302728 )x^{32} + (372217723184553640627227489040a^{2} - 359977870448996955962293691024a + 519648664362006035062229235216 )x^{31} + (369966254775496147951823759688a^{2} + 257419672427194584115199633712a - 91088800094700217923591957204 )x^{30} + (130419411987617223553650219040a^{2} + 494822999901616032699511672464a - 278089364294053852188302962712 )x^{29} + (-278955251774435744042344993832a^{2} + 117507906431695127034816481064a + 302544284294827713242988430416 )x^{28} + (470522724478655411796271891872a^{2} - 494522866447122998473731153400a + 171072341485593076163436088656 )x^{27} + (446942325463744405901217377572a^{2} + 244526285183664666164789013180a + 354957077339869974560774487460 )x^{26} + (-218360321319302268769439152320a^{2} + 19391874707023602434997826064a + 175715057628113866339192506360 )x^{25} + (-306648289203980682232216520184a^{2} - 619150690865679524790683694428a - 60526607077406265677865359096 )x^{24} + (507654222707513817573380354192a^{2} - 468127774017656679112753938256a + 181941155205056783922887865864 )x^{23} + (452527090167234303132752686600a^{2} + 613956561544666084322449813872a + 479129109633116568219101211496 )x^{22} + (-305227169343508145201776998016a^{2} - 280935051870135152744299451160a - 585641358199196993524788755032 )x^{21} + (-456299596924415485324572485920a^{2} + 155451733494665063503869536352a + 519567765197160645228074403032 )x^{20} + (166095721746392498044239996504a^{2} - 136383734232539026419131796200a + 277969244352151207356008280872 )x^{19} + (-425237392906179323581497848764a^{2} + 59507519689997148585103712092a - 621850851112162822400735870296 )x^{18} + (-406857135541296725730501587376a^{2} + 375158825912513528880350229144a + 144627263129222254356604183544 )x^{17} + (-602505530655118235264178007152a^{2} - 551410952779812872978008533272a - 106980559045583965781960034824 )x^{16} + (-541529602559782422977686398512a^{2} - 124098797091897189561049461136a + 582429089010577424712960583392 )x^{15} + (107645223302269223174673715008a^{2} + 421936274752078676948050405168a + 491289304006113358524590816848 )x^{14} + (446565462286636596038652762200a^{2} - 15627989757080271094220061104a - 305521502379423143429148863560 )x^{13} + (532211146160805347932966489676a^{2} + 100731348495302937711041529644a + 109133907166471481531240120044 )x^{12} + (-601878279473384714339473174288a^{2} + 7913930681176899209556889008a + 345625962879695555557489283856 )x^{11} + (-118274001051731596976635869032a^{2} - 299471005566050502788734315568a + 155875124415911411691513097704 )x^{10} + (122647288009981809787898068824a^{2} - 295632143327152221365933425968a - 421084432972650241379257253360 )x^{9} + (-555481761966333885203358211264a^{2} - 61217480172470330208773032576a + 622629462639709148619871622224 )x^{8} + (-449877080884861457167738042384a^{2} + 527882463375240996494342211456a + 328422127000304277866399070032 )x^{7} + (-549096590830988552857460666336a^{2} + 180231269733757181907380541648a - 208516809564806328680947647800 )x^{6} + (479359280346436443777856207856a^{2} + 73635328463246995869593268000a + 422522697226986317734436669824 )x^{5} + (-124055464009824614488224121088a^{2} - 219462321042663600978320161008a - 429502117869352879327299795552 )x^{4} + (488828235102500782917500552768a^{2} - 470912317749750908305394954416a - 422562218964381856411299519280 )x^{3} + (-297960359262656368111852500648a^{2} - 478314231680287270373928736344a - 126279629142684168337172068760 )x^{2} + (456757307588062076073396403088a^{2} + 94604504630045896312928973296a - 617347908934798351312455116240 )x + 323466917742673016805101975600a^{2} - 299892578913130955905141820984a - 116166512390763950816293141332 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary