← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.90112_442368_499712.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-105701222867407830843547577380a^{2} + 306319824721836736134710475272a + 441280552203866465010674031284 )x^{47} + (430531384206047617894823104404a^{2} - 591316200587818796437723728640a + 449848053160343736549189044724 )x^{46} + (-358391161574721511811177366436a^{2} + 130550748512438194627241743112a + 376717220735849467704760428938 )x^{45} + (-230972685130434159194286801796a^{2} - 34622368616541902835869932536a + 18525045071557720989388023728 )x^{44} + (-127217818381546569301477701836a^{2} - 164119298973349813015899693836a - 579987945439105591551503108084 )x^{43} + (125598113127027082772788788382a^{2} + 254282862203565738608912724312a - 586265218168239003073571581662 )x^{42} + (-248885113689186302595293901284a^{2} + 533703008545625957808207672192a + 204536777728764483057891821980 )x^{41} + (-454835636733204778406154174616a^{2} - 255003708461197901792093578464a - 74645475620328264142056770176 )x^{40} + (77563061843528642538672081572a^{2} + 140299646808576224707621161168a - 547332724540802653702038694408 )x^{39} + (44671662819411866090211062836a^{2} + 500988268798208923721243702040a - 182793415695915180578423818312 )x^{38} + (297610429550413390778979907388a^{2} + 2929102457473684605993335984a - 622259922623415391031839474520 )x^{37} + (118278701365759272224279319696a^{2} + 376298156704253279728293478340a - 583054302083437930136035514576 )x^{36} + (346411608494380346116120548444a^{2} + 233465793421416383714177581972a - 314907785773920989480419953552 )x^{35} + (213436254692878639912695704a^{2} - 95430100948221591512442450780a + 110669799974996511233498940092 )x^{34} + (218155916399256482835924760004a^{2} - 515970264277966112006690021452a + 39079799970198359519451268620 )x^{33} + (-143855579661190430422229951968a^{2} + 163074332009022345088504717224a - 92063147845932544491803954748 )x^{32} + (570417287317414758791750932112a^{2} + 76381453324567612407784837424a + 514466895926468943987446775608 )x^{31} + (240074590679750583725790959196a^{2} + 474806916977259894798911451364a + 327730185549198118709120763796 )x^{30} + (371842369025597439198450025192a^{2} - 580892840312155811571287366100a + 172029405488785721747764778964 )x^{29} + (223806995760709727018108884808a^{2} + 563647731573325256331939858600a - 219075027588661321874845400452 )x^{28} + (-101027071373433934213707390056a^{2} + 505737258432723950052212519728a + 380035878579198631485224589168 )x^{27} + (-199638830558324210830273295844a^{2} + 11517550736273698218243790176a - 558291883942691299902865708568 )x^{26} + (-590396292045734434256225678828a^{2} + 316825692555147715789757692304a + 490087171597471488236217967596 )x^{25} + (531214004392021016070105813608a^{2} - 195116233730339780696386265308a + 289589630890366414820281421488 )x^{24} + (-611236527154471517524618446224a^{2} + 72185864218498600416663101016a - 511417191385649131054163396680 )x^{23} + (-421182231914841474807399348056a^{2} + 83392961375856072658413813112a - 105406280964572213102573689408 )x^{22} + (-271916149716425368537270738572a^{2} + 520124134951869004010027514368a - 517716558930656575307589309888 )x^{21} + (439218298711942928189798578208a^{2} - 76406343041526103789782823728a + 90619500371493603212504029232 )x^{20} + (625319804990638214140089442952a^{2} - 166928895081291259911403135216a + 66598879636847747009240328000 )x^{19} + (623861900165804088076401145272a^{2} - 568173609567801041733462744284a - 627320422658921091866830136288 )x^{18} + (-282575558368099005448560929608a^{2} + 372508101469207289648361327008a + 523907511254790365515055853456 )x^{17} + (-439412539051638280187142907736a^{2} - 187620708323597515764857585688a + 571118383830261580375987150328 )x^{16} + (246803192648242403443467298720a^{2} + 50473920307811722449436570392a + 320638643513795220683519262432 )x^{15} + (303760030378686146367829399328a^{2} + 187870976333058955612335093472a + 435847847955691825432800439432 )x^{14} + (-560933745190479121659178789432a^{2} - 602933163630676534169157967744a + 202087347671650851994199526632 )x^{13} + (-550342989017608860709548911868a^{2} - 372523014880091075030953374440a - 191949711801514554150392549088 )x^{12} + (326544835642094439660302820848a^{2} + 13671393509747552244127495096a + 257074236586991758332577559080 )x^{11} + (-120510472908260597300435680504a^{2} - 261478394347578663826850406880a - 413323211105639280963873941704 )x^{10} + (364703082697227306091663656872a^{2} - 208628619703520529296009362464a - 285499317308426443822897173568 )x^{9} + (-503027807371363086580773977320a^{2} + 167449041739372155212296119400a - 525644549375521820873814102312 )x^{8} + (-224932998321586372585696457968a^{2} - 107259156420602766517573739952a + 242766896013391143183981187544 )x^{7} + (364133576830678619958312749248a^{2} - 580475065003026930503288907744a - 258848699472194588275677972168 )x^{6} + (-207117161588527219142454898024a^{2} + 628006774031089580842443317624a - 507268745357114869759104393256 )x^{5} + (-540164948371860700309568830536a^{2} - 179037383996519743770182481040a + 536067057508548673973775100592 )x^{4} + (-267824228925167649909048282080a^{2} + 219103442477501626355338154936a - 328353017749240438676594330408 )x^{3} + (-121404360648268793428282820584a^{2} + 30193669879434412997441924552a - 140611466714757636986859587552 )x^{2} + (-232659501054637733613115598320a^{2} - 549976738515330007207592504888a + 450317596942413481418022163728 )x - 171150738578263236255080336788a^{2} + 314403340646418912492916260580a + 301148391800567674148397245024 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary