← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.90112_442368_499712.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (605405717849939911258981158604a^{2} + 137701341522210300113023096056a - 576432857302847635507271137584 )x^{47} + (-445451556749383293469950185132a^{2} - 145715122684720493028601244168a - 555124621212292705043995594760 )x^{46} + (-490122361289905651400896693290a^{2} - 19504112915905951879594217048a - 306024220631791205955220251218 )x^{45} + (300302535274587737832826459452a^{2} + 97794953624417027740321513976a - 433613497471165525257078095148 )x^{44} + (250724166919855360517733785032a^{2} - 277856185361852612894079660332a + 131463587973344064421474927256 )x^{43} + (-397203369835651141967654868464a^{2} + 118185051736920050871588035290a + 585087475530378660052447599870 )x^{42} + (27811908021484349132874041428a^{2} - 37090182821615350976007912828a - 181865208022677493098494940252 )x^{41} + (-440347643954811731873525064948a^{2} + 433473457229612352663441009348a - 209263502407575331521486631872 )x^{40} + (-424594002512955216392037418252a^{2} + 381910194588651724637572144820a + 78046012119392353014157606800 )x^{39} + (555862589405396625778402793396a^{2} - 599555148810359857060496130044a + 14646057895677270810652951780 )x^{38} + (286400183179693063843166028044a^{2} + 510283459321612237630791615968a - 421219985409368840631883356792 )x^{37} + (361144206164543547794784778132a^{2} + 386239431240337250128395711244a - 16079835849642880030131669716 )x^{36} + (-238809481932050952568099988740a^{2} + 423559667042312665423569821340a + 518325517394879590692727656164 )x^{35} + (-402690076359186375696461152208a^{2} + 283543587337356267229786013532a - 434437989378778367699827337860 )x^{34} + (-243943086543490578484935241572a^{2} + 301082808374390467474564114300a - 397123518684704564441794496440 )x^{33} + (-417145109251260705323788793216a^{2} - 542110745385588899839303893940a - 597654214608984290618940271684 )x^{32} + (-247711583110230458830285217360a^{2} + 578588590606703397774827610536a + 202166269675672983482361667024 )x^{31} + (-396657712089680991247342112928a^{2} - 190084968210730053664771458220a - 575930116070905035190906755068 )x^{30} + (-82081076420622663807661471680a^{2} - 75820001718119614009239103564a + 380210961492541813831210403792 )x^{29} + (201807531768460419121453352108a^{2} + 402546645340067840229648674804a - 217772632988108984441847156172 )x^{28} + (-153353111516908483428310649464a^{2} - 283570841286763772171656797656a - 564901337249923306909875253312 )x^{27} + (-531037311194829779245804279820a^{2} - 420949729081187906545783188860a - 479300289688319244579360348780 )x^{26} + (-9054481350723499317992856348a^{2} - 542785182967503947462947634440a + 312125733894488555298343638432 )x^{25} + (598820374469995429039154515868a^{2} - 627100862026639441768387801136a - 271178892910793762465008086824 )x^{24} + (-493659355521042122306466461016a^{2} - 93102520302333151935033321600a - 490827231689394008344163451576 )x^{23} + (-402730220840702355331176266024a^{2} - 77328730025427888989390021192a + 357958413657692580759669396728 )x^{22} + (-384482951068891639804665359648a^{2} + 216444492989046998383026931564a + 125811031882223509170033769324 )x^{21} + (-568290796855585697970953476896a^{2} + 598397069873638409503222527672a + 153309761046484467053548220336 )x^{20} + (-18780034206143156411369530632a^{2} - 79741324886272091163684453208a - 585036836599920073872460708248 )x^{19} + (-287091682058882562178449208208a^{2} - 275314846770386220023760272904a + 462250412638705641375637839588 )x^{18} + (398174103883813666074255646128a^{2} - 230221285710517030295281659344a - 41893188483297375920583339872 )x^{17} + (231931618087398064199169024080a^{2} - 610551370026121495460617289648a + 36121488376174596627734543952 )x^{16} + (-251412244425347757936135693160a^{2} - 4979273021115125650483499088a - 3122913068002292139236159944 )x^{15} + (618807579410457263050949404040a^{2} - 378948766404915291891511337384a + 455853588596841610883125603272 )x^{14} + (180115619515158522803668950560a^{2} + 177812240037545436226184153248a + 159518197326564535858849969624 )x^{13} + (-44942751972118800809731239692a^{2} - 558130307653192531138002264164a + 430083942777362945621648343500 )x^{12} + (584154725605511861171927795016a^{2} - 98986339320645715308678448576a + 460344653860123730351619117368 )x^{11} + (-259443198505980080711616500360a^{2} + 390470214420821241613380592664a - 414471109054413401958081675320 )x^{10} + (362496365850829803606168928816a^{2} + 454519689342298756350421355472a + 253889720481514247305533334056 )x^{9} + (609167809099435185826645739720a^{2} - 394733980989177695259792559960a + 568649476207284664125819007752 )x^{8} + (-433152555787156205301747445568a^{2} + 134691355071233383815854483992a + 76425395283306290269523160096 )x^{7} + (-499804819038580296119355127760a^{2} - 133672382697089615548832723984a + 597321833589714259576986023944 )x^{6} + (328847985849765562898284765624a^{2} + 5454870449582324873461885464a + 292373127541327191651228603976 )x^{5} + (-197472279107796871668138918760a^{2} + 294260708065846299673739470704a + 448847278942225776623951065472 )x^{4} + (-576448914511120690115776961448a^{2} + 312499574475413542617243226208a - 55464096766059595891843342608 )x^{3} + (503078937839501395201239349672a^{2} + 517702088620128621649363724544a + 76136604742943899017271744192 )x^{2} + (-160907620407528053529264418264a^{2} - 55811084591599538912214199024a + 555882540916835206533639512840 )x + 193855092089633585841238202328a^{2} - 359372279624901711416329213676a - 595395783073527852477308724792 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary