← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.90112_442368_499712.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-580926174856400625280651389480a^{2} + 233075251037259518383426865972a + 398666476129175760887348747532 )x^{47} + (276681400738064752050685433572a^{2} + 350126558265784523208321057860a - 375897327424500140058818936404 )x^{46} + (117904186523807248042954944008a^{2} + 472056310726790668860576779426a - 176051899077942264372445547000 )x^{45} + (115602682046724115123410035320a^{2} + 619807681893902973471104091960a + 387916157243947683903524606292 )x^{44} + (14334118397015902860420354440a^{2} + 109529040477310579517219704340a + 36056438827529345969356660520 )x^{43} + (-163417132260967466079140376706a^{2} + 246276685213141479351331942436a + 366019129137409574982533951056 )x^{42} + (113590368558827931648105240992a^{2} + 361057940951261926122979392368a - 134392378400560206102234070892 )x^{41} + (399664480971783890607579717424a^{2} + 206084020306740353326619110468a - 37175343410153460270815678036 )x^{40} + (575399403775314629732093545744a^{2} + 538186596280103115398527295140a + 491629026811882900323049001536 )x^{39} + (282855404086131634764070994020a^{2} - 41269943731158017606121846696a + 16997931164521629647966231236 )x^{38} + (326122960207787470256318212684a^{2} - 189988563995448711442423033552a + 201058295297838756132665234604 )x^{37} + (-508737057621681120406148823452a^{2} + 319160056076643560482298074432a + 91370143752798528668679243752 )x^{36} + (-100309396433936741195473964272a^{2} + 304710518602225727537908813092a - 69467024309895713731797299420 )x^{35} + (65062253929918246303464046224a^{2} + 481470396854132045845198198468a - 509356454486831024154180180532 )x^{34} + (220331601879131197396361217480a^{2} - 510903650552761858669713274736a + 252448165230729970514877392076 )x^{33} + (-120394118330725706366497648792a^{2} + 611040657815121146427503288840a - 579752791289559326095123881068 )x^{32} + (341082733358862355928484113584a^{2} + 289825697549179251560836524016a + 368655520778423753075574638616 )x^{31} + (-314967729270899485242375401176a^{2} + 274664067120151789902358830736a + 247616089265466344055598712412 )x^{30} + (-69088254544530497044954782484a^{2} - 68372381660887724203724927564a + 199610867624865678011586655772 )x^{29} + (-428408800844828236170881628732a^{2} - 343296145479809170314645895808a - 286792254190855615908504395784 )x^{28} + (-567160814364841243105192668864a^{2} + 39757879599662352607337222680a + 78942766371183695031156587384 )x^{27} + (29313224125851768429068824460a^{2} - 182258783951694796334633948096a + 153500670467869858663885819404 )x^{26} + (454272324049093774994363812488a^{2} - 243045205179079161045628286036a + 182807653751713938390199795796 )x^{25} + (-239818676768339426542802854608a^{2} - 32158179956359203404801802100a + 261034599352109962507632744444 )x^{24} + (254518517243544030774560291360a^{2} - 154184532651380857590273286192a + 137778541117286518876584520928 )x^{23} + (-587805313312441028321701680080a^{2} + 446378719410634619638889387160a + 553740359315428514829975536008 )x^{22} + (-396693864576416588802716453280a^{2} + 411204736117526093033741156980a + 311711195132366792168284978112 )x^{21} + (236593156309774379281521751624a^{2} + 262563712795961323126040883544a + 447491341409173587153305230544 )x^{20} + (217362827753583996761613428296a^{2} + 179378046926567579227966638416a - 486659953614701523792271275240 )x^{19} + (-316644136096296821127245104156a^{2} - 357275832861566194884638446976a + 440569181369691055263965682800 )x^{18} + (-559018540227299433283818295944a^{2} + 200838557448678909765403341504a + 280308915825292111997897444936 )x^{17} + (-205312574718557208527818689752a^{2} + 116595790781740020535401215064a + 4449738006235047862062450328 )x^{16} + (-31833282845534473159714119056a^{2} - 257427142137277932077596357864a + 422962433093448143366118722024 )x^{15} + (149202759774947997030118254184a^{2} - 191564900724650437143554840672a + 50926503816146731953611246720 )x^{14} + (142818814612566410401666183760a^{2} - 578835229357425888812177719608a + 7511920740740284206844515360 )x^{13} + (-396705728499405400920278709356a^{2} - 572013493772795567132573619320a + 228916623402436305858618371604 )x^{12} + (468128606295934762203268480736a^{2} + 471157502392805288335028203136a - 536703830040948377198024580088 )x^{11} + (-229782076606300269587910919944a^{2} - 424354123939772852872470949312a + 468049331198469728387122255440 )x^{10} + (362978135559768704817023935520a^{2} - 575281969435522863145511803480a + 578313936625804631718952348144 )x^{9} + (518775983754837723890744554280a^{2} - 357158758840742260291639973504a + 268809328820800003227138349800 )x^{8} + (-303447906471210897029746234696a^{2} + 80870103117731476415017084704a + 262604781047471710179144091912 )x^{7} + (525877005976100235100124082928a^{2} - 596800058822444475855408521840a + 439448626452758592410581044760 )x^{6} + (-451874333943384026400223724248a^{2} - 270939206202603168539719020168a + 76885792274740030111759565672 )x^{5} + (237558488432351480087450752376a^{2} - 85968691220294621916628273632a + 289265626418565324943004586288 )x^{4} + (526298340988265343140187032760a^{2} + 485473958990174449149688649656a - 357316311738404255471401975632 )x^{3} + (-489938197430627154488247828792a^{2} + 612594924508689268432486404944a - 24755111417631983705840998920 )x^{2} + (-140859736008221032021801403760a^{2} - 132327230952770124821945802216a - 626499672238930068962203189288 )x + 45344042413906153489558256624a^{2} - 22410949998646073693282753784a + 102881662387370385505421409564 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary