← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.90112_442368_499712.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-24382515345518965886476920088a^{2} + 401693734236885954405114245188a + 148729285407660459908590711024 )x^{47} + (294649508189687560324940746212a^{2} - 514066112594204327381257876828a + 596711967206479303263047632576 )x^{46} + (-478549260085335631712932304402a^{2} - 243252682800134065325245729358a + 410149947241351182822531705268 )x^{45} + (-53432025669704050913819725676a^{2} + 122796996693351678797730256200a + 370562844201494352550954383136 )x^{44} + (-84523967186757480278416662532a^{2} - 341782237189671190155156256980a + 140866394888725379953898588564 )x^{43} + (31351689306057594201562655798a^{2} - 326189998705480126487466568550a - 427923529432189716825129851256 )x^{42} + (-551567773505484579684385445672a^{2} + 351414714225523274164688859872a + 507492287697890176706043513152 )x^{41} + (-289634796108580805923104497736a^{2} - 482733925041226332797307327128a + 369295258687253257379832418416 )x^{40} + (272887493235476323946409656416a^{2} - 195444083711037447815243972704a - 335640129221505644162896812088 )x^{39} + (-434139500394519975977003526476a^{2} + 11546849793134002882032658172a + 365932686297195787861990343408 )x^{38} + (-246818877894249360808068713408a^{2} + 228130691651284213290381003600a + 291915824369718128078284410944 )x^{37} + (85185759542360190620451863608a^{2} + 348760252305503308280103290056a - 112028281230004205206112999472 )x^{36} + (-181055083603528022184272888376a^{2} - 604676796628332117765365617960a - 217479859798115169319981626196 )x^{35} + (-286167288234292317628262218160a^{2} + 334806982737267155649529858660a + 394921375143767007868054233716 )x^{34} + (323095711676248416978826349132a^{2} - 117620695931554301659474390956a - 554808655950043489518180669840 )x^{33} + (-14746526905089096667686089504a^{2} + 94567662387973755152517761740a - 353656568408589770118856294348 )x^{32} + (112165596293821686996926705456a^{2} - 440547576098437565217875855816a + 151901261903794272921742382992 )x^{31} + (506671457042981846433747816188a^{2} + 602166576900123173157574807656a + 547628339726915826847952151868 )x^{30} + (234237823076644968677557445836a^{2} - 116177085342418156628247850292a + 498677396008454882604797646696 )x^{29} + (389440504140616875484500397288a^{2} - 354778361467216722641846586084a - 74708211080873567906899854232 )x^{28} + (-108616927811934582357818390424a^{2} - 521055349050548392650212021408a + 18132185616428174445700045632 )x^{27} + (-109774847241740028681590364636a^{2} + 431268337805644492361800532900a - 204538460915084787134439930856 )x^{26} + (-388860849215708453343027085192a^{2} - 321055918066089348879393988684a - 431147453463351518413451966280 )x^{25} + (15662213697112526457196630488a^{2} + 51980009586654442547898099852a - 342165779723849970488671198772 )x^{24} + (12270981820990627631849542776a^{2} + 300240647345218760214867394440a + 350006574492434746466751153192 )x^{23} + (139849690516159062397242786720a^{2} - 332577931997718743587262382608a + 625349310417347635201178843032 )x^{22} + (-485228129778714291648836087324a^{2} - 448298474500160211647995468156a + 95208490985502528390390934884 )x^{21} + (141465597573211680822917225232a^{2} - 404266288455257601072721410576a + 127594786946617455927272119840 )x^{20} + (393052277023673976615289355576a^{2} + 262393347071092880263004424152a - 222185482315619139286821104784 )x^{19} + (591145786590527578936086002188a^{2} - 42192680877033244814733541356a + 177099894752020953078146941820 )x^{18} + (-218756295797987179567388155304a^{2} - 7209889908610657171118471768a + 90759538599896461319655511872 )x^{17} + (161978850783751861629246992848a^{2} + 22228274589486068512493945344a + 398287558489916580475104592984 )x^{16} + (-57781824522514351823010386136a^{2} - 61489212293899392565779522032a - 118436624923344855151306673136 )x^{15} + (-585621043777051955717978393376a^{2} + 184322140615408087664289014600a + 96034825256638380153422881760 )x^{14} + (290690467745785662823045643304a^{2} + 140225624689754168299141910456a + 415365206624545678093268886104 )x^{13} + (233360747090143352739205737508a^{2} - 241762948744141852019231019924a + 218397516793359154468033513520 )x^{12} + (-98348112346424606240369863928a^{2} - 594156874257917074097402808392a + 292845772933543872844117458680 )x^{11} + (387058704961930911329668601624a^{2} + 513091006743728630729197383552a + 140723609400235223160962601080 )x^{10} + (-269337985790451321174119107600a^{2} + 398454989773164063138423377928a - 381786746822346845541349370584 )x^{9} + (-83138485510165791071434421392a^{2} - 567780635182304268800302952024a - 84597356955885758980175972248 )x^{8} + (288872178207609885206256457776a^{2} - 167111900390056563870651985976a + 450292988871439298844383480584 )x^{7} + (262950917578475231579417978976a^{2} + 90048325480284912361521725664a - 117013474209467569071367557944 )x^{6} + (559522955546795252770857951784a^{2} + 128881019390912285285247354632a - 559742336202629828508977951736 )x^{5} + (-465164542591665568124817582168a^{2} - 630125217484085086602418100240a + 348632146450752788964850813952 )x^{4} + (342617711553920457880946372800a^{2} - 224533320575623398407364219856a + 330867107465709003687550316072 )x^{3} + (536138570849919085246597909624a^{2} - 144239944631226756437759006152a - 19324956298144094786130344632 )x^{2} + (-209504493780945481269855145640a^{2} - 427661290333100160487306367728a - 477131409587836200876739758480 )x - 17285842426901796174201141076a^{2} - 389454032446199981180652772792a + 310583341552160790190594895224 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary