← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.90112_442368_499712.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-274319706067034266865234956596a^{2} - 154849925273995704989060224204a - 269826388513481277091854704700 )x^{47} + (-38218348237292461724166770200a^{2} - 150464538957331881452277313848a + 376988386432513239347425329164 )x^{46} + (-40911216788311263938249060566a^{2} - 485515851951340725230326829746a + 159576596603294557420956709198 )x^{45} + (-204985358654518512560533031956a^{2} - 627345805918710435384736699060a - 66714005752221465542741676964 )x^{44} + (-160382457344001761907280124392a^{2} - 186672966164673213232494673448a - 517842174701549178754432883064 )x^{43} + (-603063058606221111004045968760a^{2} + 285238892036593099096157327004a - 425678649682869621227470407966 )x^{42} + (146731545034972505302179188464a^{2} + 260167588196423714020698452000a + 555086802896209668015441228116 )x^{41} + (-441471485635414709457523047540a^{2} + 89898198537476032705351242468a - 612911803796526877060176518952 )x^{40} + (310633891886610053269410413148a^{2} + 402053459348391830148365408176a + 589358608015686923206261521128 )x^{39} + (-364642105054628446200847541688a^{2} + 603909868249678764358330644796a - 206203655247683651042777919800 )x^{38} + (240876668277644406556614406112a^{2} - 433290210340745152233370503440a + 146288402666445782916528505080 )x^{37} + (563429961282431844074651040428a^{2} + 116310476319807746479004939924a - 262473322955133480083049110856 )x^{36} + (-577928252718338951257506798668a^{2} + 230457044338936620763916269328a - 142819345291099286576471147156 )x^{35} + (-451687827915655475347391547056a^{2} + 185891361507345680967592513140a - 482202658104112641906510692732 )x^{34} + (-443834954710278320553764146564a^{2} - 18255083015057628867162606576a + 298253072180562103388825014384 )x^{33} + (48250272895481167714752387404a^{2} - 511418997677305669655044825552a - 576613909274171395077351119704 )x^{32} + (-622809746484520754280146739328a^{2} - 39924201647100249743574692312a - 348386543030024451667995037560 )x^{31} + (630029264627146905287970168384a^{2} - 482009136792855180108219870076a - 187706672842259963685001017016 )x^{30} + (-35059755612052614509850357324a^{2} - 140420286467020347901047205248a + 267808306130615706882361510252 )x^{29} + (-442263876922672571012403667152a^{2} - 54265994399823168794779885588a - 306468944535782662764762822180 )x^{28} + (-609309042895356657161484356168a^{2} - 199645779141235584067863658680a + 402969128516716892760663041536 )x^{27} + (-343574138513494810049444304640a^{2} + 125836781442371373089991418172a - 26519220446889163332793143696 )x^{26} + (-290786208821175781360660776516a^{2} - 240473048931496782611989973644a + 602939933954238372960471346300 )x^{25} + (-52234997284100731312884956960a^{2} + 312892618653381183071891474008a + 313573485874749113350431738536 )x^{24} + (-555199017445130874521504866744a^{2} + 161780633776248340399262534040a + 38548283882484652980864382984 )x^{23} + (487793001889173263627101325320a^{2} + 470022593372572910994111719936a + 21087069863776027999111245752 )x^{22} + (-24734148623787628515493821524a^{2} + 395214064503967530976165850980a - 526878277082568537022628695104 )x^{21} + (-274012666224798825511780690736a^{2} + 112599957805629826539142267952a - 246789481222241552996706107376 )x^{20} + (-32667258013752195320251243440a^{2} - 262789193698128240335308825320a + 559663349125419395879196942704 )x^{19} + (486579703721590658170122933628a^{2} + 410499867417114904955596170952a + 572172643104152697760641952068 )x^{18} + (-39277446139224869320762087352a^{2} - 180394042980813510111451380672a + 520947181091586963721097805480 )x^{17} + (562150281914940567967021111176a^{2} - 538111221976304051613975593840a + 354423128450467964254099744552 )x^{16} + (-288027547299309305160348107304a^{2} - 291989631433742704478279799944a - 104319548243462118599912231152 )x^{15} + (458167605111959512027596102432a^{2} + 514877740830893452643067070872a - 345875348765056981707908381288 )x^{14} + (-487183946034757057890335249336a^{2} + 137758860232000274361720772384a - 359526845280550233894012160512 )x^{13} + (390282144247878856985536238792a^{2} - 552221006087356435798783390548a - 456711056279275525263675589048 )x^{12} + (588893164935923532365191590920a^{2} - 268063498077767194199375882768a - 309586557348217792525359178368 )x^{11} + (-140322410789183933533800816632a^{2} - 55267726215650303743249766048a + 297835935275540713139448245320 )x^{10} + (-429257537297867710945954115696a^{2} - 396543157816911234193317502032a + 525364958701904550297089034720 )x^{9} + (-333086653346390073425358865480a^{2} - 315035821250479689723987497632a - 190551069140509209095960986760 )x^{8} + (-493330480425235923734391513848a^{2} - 250009242812237513267081217664a + 596181152581368207153891879616 )x^{7} + (243865529560366306354626027904a^{2} - 565494035665256880764539617616a + 591449005062864504212194539032 )x^{6} + (-301023170111178395630821931112a^{2} - 528292761617535454732603682552a + 428178972380129829672108618792 )x^{5} + (258375184448180353757662998216a^{2} - 265051246059412527818749623072a - 51331580615968319689929767408 )x^{4} + (-368868731797981970260013118896a^{2} + 65997021437705476303626772072a + 171225590137448559896229117360 )x^{3} + (301259153307077643086624871088a^{2} + 407761705641982366263679137168a + 40129571586689669316870214888 )x^{2} + (-74549015256360333164994742312a^{2} - 462066347716949461568877261464a + 295517786275351874224377041888 )x - 466292332972031022884313051476a^{2} - 122510901900514419128409557892a - 116493570637134071577441949092 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary