← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.90112_442368_499712.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (436787234650313475237293779388a^{2} - 323468408473622141010747603420a - 19889197791965976113096668192 )x^{47} + (-94042365044443697345559140232a^{2} + 196235881457333983952037701232a + 465051354440698842691677390792 )x^{46} + (162328517436663633156176155420a^{2} + 420464151249690613121827414498a + 137116768281617185051092036458 )x^{45} + (356060540116193303564722048384a^{2} - 210694495639582756144493708952a + 622692763161319545523960456848 )x^{44} + (287731699310581728108769394852a^{2} + 509213519460706287183933015464a + 390681682030451707164028811148 )x^{43} + (-290228188553586653924510232284a^{2} + 272480950098879062308843206330a - 119945790378178240303229480948 )x^{42} + (-156376400572890892163260251212a^{2} + 530111677045799634176023204236a - 120799107894094236804832245324 )x^{41} + (597410201639684542143273923016a^{2} + 232604702144226453378922903860a - 294986521708805386423083974924 )x^{40} + (-479182215833030840418315229236a^{2} - 191962205242388062846675705348a - 476696448098448610282097577152 )x^{39} + (-259641602468780539674784596952a^{2} + 483887191028495973553707232704a + 301409723082758431797197577724 )x^{38} + (-74085545264723202466476519600a^{2} - 69287018144951883802216110780a + 489049106407443746847611152528 )x^{37} + (424395240320399182740523365828a^{2} - 37795064105690422408520207180a - 495505221185192947042489171792 )x^{36} + (-539680499642099773455054820824a^{2} + 280935280488496665200068852956a + 459722347870062178943240443264 )x^{35} + (460742978599499917868200804192a^{2} + 567197022764530035270764294492a + 132402759577502266934794963036 )x^{34} + (383456291795730975931165235624a^{2} - 413254567307287426002182144032a - 193401433742094954265655648724 )x^{33} + (-219753223525856141291238226652a^{2} + 373256932362836936712503858724a - 262298441544271510894568008824 )x^{32} + (201679720484928236152689200672a^{2} + 32951154792745670191840671600a - 147187166712961962473084408432 )x^{31} + (-347563281543325842000108866332a^{2} - 438979941108017028358011282548a + 541595386135576731205411352056 )x^{30} + (-259675639412829677692143671076a^{2} + 72765729045154703131490891376a - 197274305571696266858044102840 )x^{29} + (150796561394271350753715597844a^{2} + 105305248750202410781587374776a + 351249133303300255728647306900 )x^{28} + (-590325825988508501381229129480a^{2} + 223652216955515921126292866624a - 591792833241732605269628857048 )x^{27} + (-142162798070287750113198198176a^{2} + 367787166969425881532251765424a - 37245239573212522224036497516 )x^{26} + (-465777617728121019828705983084a^{2} - 321158522815551920339807648860a - 174098122829984648536946256984 )x^{25} + (66168281630992372790159579832a^{2} - 171780291454105001925577883268a - 59037470638899182120091049804 )x^{24} + (-470459641788234539901755994680a^{2} + 364313171196010458413444738064a + 110516820840410572792109698408 )x^{23} + (429015777046499291175643455152a^{2} + 480318984666155014231347106072a + 545734708547379456119131183344 )x^{22} + (367051262906148642134989394652a^{2} + 138448936152980907654497128232a - 489622186370788302963286622852 )x^{21} + (360073414735573051334552615280a^{2} + 337224794617159880767632917920a - 182989943408317064112945670712 )x^{20} + (-12870660715018371208001106560a^{2} + 623036733409223226067791886656a + 629309253456406309272006647480 )x^{19} + (-94243278359844350151303815076a^{2} - 360958992649758158336831635036a + 60294163978727187899661561896 )x^{18} + (-154020632750240053418698591536a^{2} + 251088815568060812706020102944a - 427151314304459518187826103152 )x^{17} + (-546537765267671768918800522664a^{2} - 77912702816980806700892029624a - 142117208087189917532316396832 )x^{16} + (-396694044983312494603582382448a^{2} - 389017564710095899214084687616a - 343204109972153773532441854936 )x^{15} + (393753966062035229797134963144a^{2} + 394240779222691257701602249600a + 623542258560960578307612640696 )x^{14} + (-391087356606389840428055105240a^{2} - 49223473456574318385241529480a - 436842314102779167941852858384 )x^{13} + (540775851186683985090530696944a^{2} - 61313573960064739176049048352a + 617918760287883684874042991484 )x^{12} + (-446292577024851316543813929056a^{2} + 621572289286460875797965994424a - 529943155527018297893201925616 )x^{11} + (-554888256673193885904069929344a^{2} + 110061173412052526972016338416a + 322690103217064014919461308768 )x^{10} + (540340772151129560541662739552a^{2} + 20972003988626881991530313272a + 22810075342879297708151821608 )x^{9} + (332810997291116501648387339152a^{2} - 170025513612985263075927899872a + 306185955377732909817645420400 )x^{8} + (-465809042564031365524773120840a^{2} + 212373385693405552141780957848a - 193864410483396224184179818944 )x^{7} + (412629127081357769160795329728a^{2} + 600384147349757760050589338000a - 584168363758014155595370841896 )x^{6} + (232523796258811917494187424984a^{2} - 469749871087000625449879098776a + 587190148022932348628652157224 )x^{5} + (-11490270282755355406597959832a^{2} - 629467205266306627448620289520a - 518002522370969044286251956160 )x^{4} + (-541959143870217032869800681736a^{2} - 218135082369134544107509816496a - 335472873591020851690656526536 )x^{3} + (-160708252568662643018972292688a^{2} - 368420766484220650864296687896a - 8936480771300364333397553448 )x^{2} + (-204325532103823467855464157936a^{2} + 341965119160260450216902821168a - 90774201028328404975157055976 )x - 35482801581567470711986292980a^{2} - 192106817013098234427382447792a - 146890149074278007338813667676 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary