← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.90112_442368_499712.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((3601226387735320960817040818a^{2} - 117140142381209955568417556164a + 85654613917033371504299257668)\mu_3 + (137895946452974715304297004348a^{2} - 124080513612968669948157997211a - 111807934996759735105969068487))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + a)))c + ((2a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 1)b + (2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b + (3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 3a)\cdot b + 4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2))b - 2\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2))b + (3a^{2}\mu_3 - 3a^{2} - a + 2))c + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b + (a^{2} + a)\mu_3 + 3a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + 2a^{2})b + ((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + (-a^{2} + 1)\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a - 2))b + (4a + 4)\mu_3 + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + 4a^{2}b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - a + 2)b + 2\mu_3 + 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4)))c + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - a + 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a)\cdot c + ((-a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3))b^{2} + ((3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b + (4a^{2} - a + 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 1))b + (4a^{2} - a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + 4a\cdot \mu_3)c + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + a + 4)\mu_3 + 3)b + (a^{2} - 2)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4))c + ((2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 4))b^{2} + ((3a - 2)\mu_3 - a^{2} - 2a - 1)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a + 4))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} + 2a)))\cdot c + (2\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 1)b^{2} + (-3a^{2}\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((3a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + (4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a - 1))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2))c + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 + (a^{2} + 2a + 1))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + ((4a + 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((-a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4))b + (-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a^{2} - a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 3)b + (-3a + 4)\mu_3 + 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + ((-a^{2} + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412307691656774189258964010264a^{2} - 573405599195137441989505639928a - 157877183381705898506825721860 )x^{47} + (-151319092074667872708796188016a^{2} + 125661160511082468185615247644a - 4136746398226630882299136636 )x^{46} + (51151157078269889438417428250a^{2} + 553549756326299886688116666464a + 466404133775186192429067085996 )x^{45} + (-591665309030130537536303787888a^{2} - 327967158190688291242479531364a + 560792119040584100404051801852 )x^{44} + (224800382270444372697011443236a^{2} + 393445746698311688700856137040a + 115881133560536574653438300884 )x^{43} + (37466851984613325711304886050a^{2} + 469116280140732357778825758206a - 294236880068347771842164459954 )x^{42} + (625863561406264100379967353992a^{2} - 412734835392711924687771846084a - 550558218139138500361510846320 )x^{41} + (-86206608895340850704295149984a^{2} + 451556250003812309404595392888a + 275328653753857741963071123484 )x^{40} + (571484041856552598207878080248a^{2} + 364923138764513867173642310036a - 130279881665664769105476868048 )x^{39} + (-96456410258250723899210041064a^{2} + 216620448547312723589973644756a + 90476914737998616914873217716 )x^{38} + (-4302038217835270182016048892a^{2} - 140118866462498222961702493644a - 258381530873389565640196351300 )x^{37} + (-584863310296321657346386557304a^{2} + 569861550195921201426243595224a + 579743464403099563491889695100 )x^{36} + (-205684285824476526790030753276a^{2} + 427810396847378716646979450216a + 366752541002110143506711831136 )x^{35} + (250621899220526218530490460584a^{2} - 9873391112852701913672313580a - 327753232627999133744519205380 )x^{34} + (-286217235766519065028865912716a^{2} - 48268198157768277911062807460a + 425150480164775862849460068984 )x^{33} + (504236895069703595283414772444a^{2} - 381624292033673867243054467896a - 479134917806055427953565207696 )x^{32} + (364931674438757803622398131584a^{2} + 376008513238923519123975524408a - 301644363383771219527146798920 )x^{31} + (490523886446100709559861691260a^{2} + 114045350237168317105632779728a + 286752683093573501957560358784 )x^{30} + (-71786331674768091810240813872a^{2} + 394542991827487336996238422720a - 316834630325766265575661880676 )x^{29} + (85622880336435934557733657596a^{2} + 289110357642282780180547758868a - 226121207045123782778014668592 )x^{28} + (-249931359996205918115906680552a^{2} - 579723831906100812408464181840a - 509403923403833285568853331352 )x^{27} + (-449805591072309247471693214744a^{2} - 363633858565513864849201965228a + 381264675605928587076179543556 )x^{26} + (-305502437772647370728072904200a^{2} + 202854650467009564886377016824a + 316308925561486519176466396132 )x^{25} + (70437399830653367541440708628a^{2} - 171525163423724824299800812768a + 16178197427170285453176231884 )x^{24} + (334155757187470839862057756848a^{2} + 3334684383858862186647314232a - 509481301557742214940000977992 )x^{23} + (-4569301551176669529470504648a^{2} + 111119034604765052968603742576a + 193123806947461780963581503216 )x^{22} + (-492735847415008231813161833248a^{2} - 376471138657596421843045621200a + 555033708111270433816671535508 )x^{21} + (631597488449587262550254869928a^{2} + 337755592972088692059703210160a - 47465260824241214819285748608 )x^{20} + (428929620735676370602613188976a^{2} - 473193862336379873392977808200a - 156893532702588971681149173112 )x^{19} + (418676680275034131513471634472a^{2} - 249621344677709988799398335924a - 177618657288190697369882759772 )x^{18} + (352312391850619873042821748136a^{2} + 11220799934086010265013165928a + 339294055473017265333205195112 )x^{17} + (334783969303489319334357224688a^{2} + 598451908024106590080735748024a + 349209520403783589671113943216 )x^{16} + (344804168217124011042278714824a^{2} + 363064508216491377493928526456a + 146814037753880115758100916600 )x^{15} + (110642574509397638928787748744a^{2} + 305399119786141392895596423912a + 327215686212407638865689209312 )x^{14} + (360344937988854141117399378112a^{2} - 593510918396457748888978535136a + 558809200580189208737028656848 )x^{13} + (247062079196274534934719400112a^{2} - 287161880509453550029403973132a + 393510107198848583554867820652 )x^{12} + (496525994295141778239372471512a^{2} + 23688472411124742079665029624a + 442927489794300953785980379888 )x^{11} + (477219478272384566950574296632a^{2} - 309494541329488491411980207304a + 333611252117049228544954963216 )x^{10} + (-370317615754868080292937412344a^{2} + 514717587658846954207403144248a - 230321233182199842626907119656 )x^{9} + (222900808800231553808113227344a^{2} - 276356215989870150844959359992a + 399683836177477237122542315096 )x^{8} + (-282960925943496109982550360824a^{2} - 271372941005068789506069768008a + 409832324651688373003179884984 )x^{7} + (-501368102917155435023927459632a^{2} + 555395010721419812535389964368a + 523450019050781620418421277016 )x^{6} + (-188926873750829280808853442168a^{2} - 35934775064108521812501085976a - 295584798027408395298454225864 )x^{5} + (164992263156428315765701121848a^{2} - 231797447105833273067295822368a + 178266522709855435180041642832 )x^{4} + (212353728176865148361062814360a^{2} - 351628644972030693359503873704a - 240482168476179253131321249064 )x^{3} + (-186427420737938088909237767696a^{2} + 553870357558005659163783259512a - 82458733506043362196706127344 )x^{2} + (-313607823010991184089704650056a^{2} - 351809291541702056925615871640a - 441536671287189979400079725208 )x + 35365018665281865906984903112a^{2} + 426006927922268599282559140092a + 332892601128794411539205067524 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary