← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.81920_270336_352256.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-264350755171980203501157654820a^{2} + 151920321712642158403956395888a - 30080542523941859481358443672 )x^{47} + (-360675135609797914641526343768a^{2} - 351917922522696893571209023392a - 85976643710125139025955988520 )x^{46} + (574659172506286475294386361444a^{2} - 335651493042762840223770696736a + 378653572008616455386880453470 )x^{45} + (609702446385656114798668585492a^{2} + 610620128719091221055640395332a - 388393367318445266853124607196 )x^{44} + (591439164300249425321695275768a^{2} + 404306071956022601544068590884a + 506055507876505167455879687644 )x^{43} + (415989592371180243334679798050a^{2} - 551581257327819836336882873100a + 472699131976767780585447826036 )x^{42} + (456913608513823483550677801008a^{2} + 427639069611637469519123743824a - 351562226200271430648528615400 )x^{41} + (-411122564731564422585218135596a^{2} - 357182290634531332970867201280a - 136268166189444862069920727636 )x^{40} + (-264770597247731159785316456464a^{2} + 143165598635250573900204135656a + 580307261231793173415832450692 )x^{39} + (-625496914095895478371560903084a^{2} - 410907043151055151596209328736a - 472344551679670127900511735632 )x^{38} + (464723626825346370721116279136a^{2} - 160338067147117741463837892924a + 403295408459008081617474144888 )x^{37} + (-95181739247233991680462484704a^{2} + 53260694403846741396542740348a + 102404952699240082883068551256 )x^{36} + (-360371078152343277032434984012a^{2} - 611900523405326984011689019168a - 247003509328598820970692140668 )x^{35} + (-103221104862841350830103582880a^{2} - 449988841834255562534338702900a - 348848619759739654492412233352 )x^{34} + (64054040620710141125170716704a^{2} + 179174581494309934496447636856a + 480046232332388570874077838664 )x^{33} + (455410361706346562805979629268a^{2} + 301030973085166842939847032412a + 184986677585942094223700941192 )x^{32} + (146410484576759268042959470984a^{2} - 572211156092008705709366384744a - 552914225998575738719948661576 )x^{31} + (-553825988793112013428455075752a^{2} - 367000612258593336973831538276a + 343513687461714892561161588764 )x^{30} + (210402619160043866987558464040a^{2} - 178084458118921409005052174612a - 626996998550144163343162156000 )x^{29} + (28291862538320203079954795088a^{2} - 258889722246081079788072323112a - 316655162584425823136368871860 )x^{28} + (341627142259875705610450876136a^{2} + 451047678874165405612483296584a + 522794336470645678644911330672 )x^{27} + (213889782802567697967106861808a^{2} + 51211158625350831075377668652a - 19114586281675759204325976748 )x^{26} + (99119593443066017814682732884a^{2} + 63692156861311713418570863272a + 46421476121434157158419186088 )x^{25} + (-411276544157465022323612994540a^{2} - 314186450425330963752728022872a + 629083722112427724266807967256 )x^{24} + (-230832498122355173140039738040a^{2} + 110468720958767018600639773744a - 156830775410587835536942985288 )x^{23} + (388548007212702988222171359656a^{2} + 237025907305216780586046739464a + 423140036303446670699299535960 )x^{22} + (611945017610507130294160461272a^{2} + 398475686081275053182470394164a + 191656312850819897641952181460 )x^{21} + (79042230556487961140348633688a^{2} + 59067449463551739505875678296a + 29776162529192174096605759920 )x^{20} + (-166287029444928368128081980032a^{2} + 67123469402402139055932216136a - 584666566080999442143127565688 )x^{19} + (207210370458018966266468886148a^{2} - 293492026081781333908768264516a - 117842471035316771413279845356 )x^{18} + (-72154442975161237784409254912a^{2} + 390046467629734241218473210808a + 170413823117819197194171176280 )x^{17} + (-26811069211757314134749721104a^{2} - 247958077433441927032363066568a + 338014436430414360413567001168 )x^{16} + (588164910259295443392241072744a^{2} + 260001820945577598608468622768a - 584298510284960925592317775928 )x^{15} + (151162665338630202322931337424a^{2} - 213213850431963168056682003136a - 577446530512593714823157017016 )x^{14} + (-85473641025022712295805645256a^{2} - 142810840365407580816966270968a - 576761331735724327770873815256 )x^{13} + (-451942549458368104371195615864a^{2} + 466397607799957100824919410500a + 333603830172670526820463303572 )x^{12} + (131710862982807492655192457632a^{2} - 47773550044304092325223045952a - 238491692728539949189812702360 )x^{11} + (-238815813451811017402295373920a^{2} + 599389424775249443602076467568a + 392027489772016332181407055368 )x^{10} + (-198842688773484174581028826800a^{2} + 600857250707020015341691227800a - 84177627119296707148898317120 )x^{9} + (16202706603428455115800288352a^{2} - 81119648691655635928527046824a - 7051518143855717687515264440 )x^{8} + (535477733914343035602529928384a^{2} - 249303989020839562759004934544a - 33099855375940657032140702776 )x^{7} + (-288519750396852975595828495288a^{2} + 267582797254785905000612912624a - 142835320701389385484516131192 )x^{6} + (179332728802638646365634778856a^{2} + 198312705299100009313268334072a + 589357775315332540592795088784 )x^{5} + (517996017179677517499889903232a^{2} - 197985669664468305304163541656a - 383321241281208752392193654232 )x^{4} + (284900384227757613480079725968a^{2} - 118997489779169826026797206056a + 204115025350386941069076222160 )x^{3} + (504549139573733069786871735480a^{2} + 185912137730804011080432853504a + 485413620990832394750902279016 )x^{2} + (-50401856898123632996731751896a^{2} - 359449813741575007511203879816a + 519045830648268932152991361976 )x - 25577174531046067617309554036a^{2} + 585515750305668647060511877608a + 392567464092220232314684312868 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary