← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.81920_270336_352256.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (593546843405044593253893148188a^{2} + 422634789069512260512871172296a - 506491087401973900934585937172 )x^{47} + (-546879177737106108073112411328a^{2} + 435458382595126489816139200024a - 286146925843601719320186188972 )x^{46} + (474181078322746100203410230476a^{2} + 312300916366165559167052205930a - 525008235054061915510197629780 )x^{45} + (247204457603326667372600695752a^{2} + 235578553020980491754589285240a + 382327458941684455663298137236 )x^{44} + (179147669387835900665541011264a^{2} - 414100338668183957470453730924a - 401370849031418944378064069312 )x^{43} + (522614845414329625203678305730a^{2} - 193217984100983438214560083114a + 607527446914025014395073340022 )x^{42} + (-125404120516784793831938227840a^{2} - 189014381280569250138831523312a + 107444192669496798507156848672 )x^{41} + (509399342448955899474891149108a^{2} + 83306540639901236381508506976a + 10802524313120538686360526412 )x^{40} + (-250730688747620607287427755244a^{2} - 582392817568771756231714073192a - 484032600374864871881680925404 )x^{39} + (241706213639666510482699290236a^{2} - 230748960435955195195945216480a - 77169018167771976147591206204 )x^{38} + (-169185099415351855027996818232a^{2} - 94152741240502888531634585636a + 516939165954467740676613443956 )x^{37} + (19015686974972842003832740744a^{2} - 568463190327837626308486449104a - 215747332367391865436734495736 )x^{36} + (196145230668223073357610503308a^{2} + 458264266958801373512464944228a - 554496358234296473248049080972 )x^{35} + (-567084852738298688729532515448a^{2} + 435158356329142848378787979276a - 609379487245700114659814260328 )x^{34} + (212407338883465446218810459208a^{2} + 39724584341823327419608474996a - 78364560215973251490978563064 )x^{33} + (306155313639060129208612325892a^{2} + 315400323281545436265284176520a - 627766443928535896862573310140 )x^{32} + (298551692695044562285184347912a^{2} + 387778700771513954366161864736a - 186844193807781113453164023104 )x^{31} + (216628488211998006761882058804a^{2} + 144556355608809558597263305804a - 527036291907837884630033498364 )x^{30} + (233942559243977781439248276600a^{2} + 82946022833723007537558002020a - 159000723127216932688716995548 )x^{29} + (-247467957587009436487038494564a^{2} - 133194305720703381324686427872a - 360076478685428382452818011088 )x^{28} + (-259508835703151863480193373248a^{2} + 513477220192545563058203045400a - 32794050894703128222389211624 )x^{27} + (349362125786915964927028191312a^{2} + 161449068334030472628038346024a + 426375065190927562850722554604 )x^{26} + (-107717900607895835860610877492a^{2} + 354258124335997110087525944856a - 320937502304235467904766737900 )x^{25} + (-325989764989317691223801332416a^{2} - 341039206495325611147738366748a + 468293374924963254328894026272 )x^{24} + (350014999233908064218902536448a^{2} + 507586318952000377353608800248a - 149417876165156697677400958792 )x^{23} + (-66697550708245989018875527432a^{2} + 439888470307939733056103553080a + 285666509512827758887024744336 )x^{22} + (597163697833105381267553408268a^{2} - 451316496342590487348767068368a - 218997282476586500904882576080 )x^{21} + (497723694071720909527648724296a^{2} + 461583397028725188051813519336a + 208294502138339915989072463064 )x^{20} + (316940186884444032159766301680a^{2} + 441773840033517797353473819200a + 283714141351325703748030589624 )x^{19} + (-456397963547920766596732710332a^{2} - 193765821867207204944705298552a - 189567935942014593182564534524 )x^{18} + (556774588198565772459838092824a^{2} - 502057359841727036720231873080a - 196139510271571994866914381800 )x^{17} + (-233995147006560213133651702576a^{2} - 539274530163462226509220921544a - 357364630012240791524922713576 )x^{16} + (-618103746277059599054764333296a^{2} - 180219122875543552358467310440a - 100152718950845482641269437280 )x^{15} + (284450852888679186004130490584a^{2} - 305560773531156222724730876256a - 5113457875198210167307644880 )x^{14} + (-524853239379789215086694824200a^{2} + 390431605118588529812461772040a + 492983006277551688704023196752 )x^{13} + (-460527041561549900131406653408a^{2} + 435428637814184565256257828160a + 28857584914905356872459160468 )x^{12} + (226909942339287641204173696056a^{2} + 464368827260565980588357254600a - 487957394794122480599057060304 )x^{11} + (-179776333885582846348159472304a^{2} + 52014714299594414582907831072a + 568607189862898216212422954032 )x^{10} + (-457810001800579044404728323704a^{2} + 541385847320730206706316531760a + 272707122271940494202716628720 )x^{9} + (550051757496284774427964988464a^{2} + 161819417385646235158444254592a - 249832827302215757593072108768 )x^{8} + (-539294302118740117465730140744a^{2} + 368485058310836913099002732784a + 573302966462024539077657605832 )x^{7} + (-21951790713718433843118408648a^{2} - 284600011935332786796474008912a - 437902627684766110239896889576 )x^{6} + (491541786814391580292457228168a^{2} + 495348738470370551292471264856a - 489883494071626157710869502592 )x^{5} + (-335183491292632388302597304624a^{2} - 541271001962088227724651021064a - 245526235760187282596362803976 )x^{4} + (-500797360393358407113125474296a^{2} + 312908380308082855636279611840a + 297039589670565797727518187728 )x^{3} + (-567943538544654300983777403088a^{2} - 336851936044342337970715416120a + 374777036992509310417798715392 )x^{2} + (-501491769184478016396990775056a^{2} - 179793334626640273629786148544a - 108931226726407766970100171656 )x + 452975444054771434470634041180a^{2} - 531659919803311115970984341424a + 299207592794283584963415519800 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary