← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.81920_270336_352256.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (481089506543812080313729859008a^{2} - 353900251908920027370160058924a + 111786823080820797779693806820 )x^{47} + (546244774015368584603427254960a^{2} - 144924822719073639548006086580a + 216436974577906179125701585332 )x^{46} + (-343960353698080949763580303130a^{2} - 561419713400663355348414671972a + 221458263319439922275313703976 )x^{45} + (-470553369443638210761839217240a^{2} - 337409865709934406106066382740a - 531408462223415416768116048468 )x^{44} + (578248980056576050411148334008a^{2} - 392130359443990632066418159332a - 591663565981930954438716764256 )x^{43} + (187850340216321566094122138700a^{2} - 180654312626258888272666219590a - 442298755872580324063765766736 )x^{42} + (191727277967763504041257306060a^{2} - 114710557279894949229169794788a - 160834572870914632259876498924 )x^{41} + (156828831385886051542736872804a^{2} - 337476753238134738574369551284a + 298665338013555473015226378060 )x^{40} + (295175974103430677245594832188a^{2} + 494635550651324703788730601192a + 336945344774049528234987928180 )x^{39} + (188122101692775337576484134984a^{2} - 319343915420223844558397051468a + 172756038437614019470914393852 )x^{38} + (-188862199643003004480450941176a^{2} - 202012239882736738101941919484a - 371387601200508716104086143840 )x^{37} + (160201823076134969963331269560a^{2} - 484402602761871528313822354664a - 618142418552329394713740593188 )x^{36} + (132832607091043488241138211220a^{2} - 615914910183916573440225187108a + 355566146905187022783645360368 )x^{35} + (442869704538805633090646813208a^{2} + 283607586753800247127714511524a + 480323232092123113525745238296 )x^{34} + (45503316723978761759534565380a^{2} + 203636422358556284866272579316a + 96542835161142536479656385216 )x^{33} + (-318690163511728407315764763460a^{2} - 486889158399156446331422055596a - 237156360864360535081732320532 )x^{32} + (40111741143259960603946579896a^{2} - 481656679499939249632696286272a - 632301997704048683946493709048 )x^{31} + (351788110108368193767926654760a^{2} + 250419252347944616657974242536a + 626789815470324172222593234316 )x^{30} + (-522261641772089054899763617196a^{2} - 602310082159983030777403501484a + 456483497524002794345625019788 )x^{29} + (-175103096653902297402310177684a^{2} + 277041019300106138358136327052a + 527532408713108908736195744744 )x^{28} + (-516563252591175612553059355544a^{2} - 334121448226425683852075497496a + 505587069679690996403521777072 )x^{27} + (-270248078541313293232970675452a^{2} - 333430315177672192986292832364a - 176509536463815282924465343968 )x^{26} + (129284541680385923280754008312a^{2} + 256458777702083638411144993060a - 24666195769492666156490380284 )x^{25} + (147192987817556334165020142816a^{2} + 378333519742117970190831255580a + 628597973911645139448629631300 )x^{24} + (466244143918002487831983314528a^{2} - 173038358241490795202364995840a + 200137337364961211675336990912 )x^{23} + (-265631406982389958730952163888a^{2} - 306637768349826068681898267784a + 174936195601409906473140857688 )x^{22} + (-38794739842553506630878177512a^{2} - 170560371029444003544725449748a - 510190477724013076020807860128 )x^{21} + (-445190662646559902174209111504a^{2} - 388042075008093054176738039520a - 578916126004478061033688919064 )x^{20} + (-54111778197438205235250751912a^{2} + 371985893259991431623628835832a - 486468192861999593204657506256 )x^{19} + (-161128553046112573970977975664a^{2} + 458893992240429063772001467536a + 25315003484027248220602194324 )x^{18} + (114519465428264404343323179528a^{2} + 302539518887529380278344092816a - 100399917520930368780149210744 )x^{17} + (362561000430469657775058257856a^{2} - 304208186696294648684642980304a + 406650629449510441265092740216 )x^{16} + (-223130304642732468338153000288a^{2} + 227394713341304947652922051752a + 456175467211862883892947741960 )x^{15} + (-328053967271160841950978189864a^{2} + 136750665039838865926506013880a - 193324620529276346903881519168 )x^{14} + (513835490860571005478366336328a^{2} - 561476472075112504449742988848a + 464264422992531362344429254360 )x^{13} + (-429724773337939984363618337468a^{2} + 154453961007929056419934520868a + 508204193876504600112730865432 )x^{12} + (-305180678674878217884979876976a^{2} - 536683706327730473634945998744a - 191537863092583065503806588608 )x^{11} + (5437452073658334281079716296a^{2} - 416471255553900944286901778352a + 55870796476112601057933664320 )x^{10} + (-22860795868336358593389408208a^{2} + 407350686058675710048068639192a - 278785286785827775864426163856 )x^{9} + (611732282898602823336952169200a^{2} + 115608361635864699665609604808a + 563924665066670984920395149432 )x^{8} + (514160956177725453533072943880a^{2} - 259196500156225496836580332440a + 400956140945734312666961477688 )x^{7} + (-475684640767065839955883795720a^{2} - 124576995927741692021078139616a - 577413023847382380789648851832 )x^{6} + (-486220675614949687395182169672a^{2} + 570384096961274984554503218872a + 328216759163303703660238485184 )x^{5} + (-493657724309365353078230697584a^{2} + 203029113065293878096800729336a - 396512662948815555129324567224 )x^{4} + (175558588057816335646429354496a^{2} + 383597980410867358333855056312a - 334217651601287660708376902360 )x^{3} + (178198711228183823514380837584a^{2} - 73650806408056217602783035192a + 589103693084479578087766800024 )x^{2} + (259907060303920055964320086296a^{2} + 62634030285050080007483758880a + 505444649366706747370814505792 )x + 340521912323383291300366243988a^{2} + 455316252543095241324920828796a - 575905958192307721976118906356 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary