← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.81920_270336_352256.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-151893418310747690560994365640a^{2} - 339195237537154955209715578268a + 619292147221492843301065017712 )x^{47} + (434477086695546189875909922560a^{2} - 235215040920980038013049511868a - 269036373253004986793112137928 )x^{46} + (147025900945865469635289247542a^{2} + 346126214728914027859191449346a + 619396051905121433299147189738 )x^{45} + (-301030278376090996312747298144a^{2} - 153685626778970485571287920168a + 79810589221308191855025195004 )x^{44} + (566600792030925736660631135272a^{2} - 278226079403584149068200383580a - 31503940021320103370864694308 )x^{43} + (-593491635483935065807814238720a^{2} - 375570190590033988752592335346a + 143739143262250223775260121010 )x^{42} + (115654133428566208048508401244a^{2} - 62372707042255373201510559240a - 154919108180709343953539844868 )x^{41} + (225096082006778841531262714284a^{2} + 274315754529222922704260987412a - 191654456327588534555439137968 )x^{40} + (584386203880329470084724987144a^{2} - 201199464404397956560758464848a - 46090766270217964829174728188 )x^{39} + (-515448471314157628636708565304a^{2} + 591492560640175324734582716156a - 377654427495176088614224612776 )x^{38} + (-46471094576707645198217624224a^{2} - 201329378155536561743316020436a + 589549849449416398631477005624 )x^{37} + (-374609059872063864494861635128a^{2} + 150738845938489272309043762504a + 24296048498939839732014636112 )x^{36} + (-24327710902322514701011113640a^{2} - 443887588442881461771810763676a - 38355196345349090643620028424 )x^{35} + (-51974741005594628983819189744a^{2} + 371963101650967172078349965716a - 522963688337932287755390983040 )x^{34} + (-198653060776742079758915715312a^{2} + 340314305380479982863004475084a - 31973658465067173142402580856 )x^{33} + (62233144889229703766690574148a^{2} + 381232126384675578528934907656a + 437519338786275603743093997280 )x^{32} + (-567827837799607102067302804264a^{2} + 142247172562537034365381318168a - 405509252395074707442930302880 )x^{31} + (-422591896748277268185813631324a^{2} - 67779146386154376611310591296a - 15278688141872244726268916956 )x^{30} + (436002369113989626829125042028a^{2} - 109315499374649151357777067268a - 493068073694024478201125733592 )x^{29} + (-441855175853231538914315337104a^{2} + 278882253416713484893728610524a - 387068862540481312565132795276 )x^{28} + (50890303763051516964370521760a^{2} - 155176403604894427233668931512a + 191055285561305984148557277248 )x^{27} + (188621874978744899572250906772a^{2} + 410494282995608473938098586664a - 145546466466661377076756170128 )x^{26} + (-187442575715878305517034167624a^{2} + 601205139997295448946722390012a + 225334779731194562899374282992 )x^{25} + (366773228718665876603022690552a^{2} + 168428471815989569242477760884a - 281820151358909131222978631412 )x^{24} + (-465504582844085788974056292296a^{2} + 566776370451717853275563567672a - 273850590573454852519812602008 )x^{23} + (457882179855176592775561047520a^{2} + 615940937453953080953976581808a + 321582523030917054276364296168 )x^{22} + (-181632502461844441471683355228a^{2} + 622544015082851650100893758172a - 606371565648011964410118398428 )x^{21} + (156212456559238560982711718008a^{2} + 361632180878810027176647196520a + 359228489434716641128182914016 )x^{20} + (204212062050060267485891596904a^{2} + 192519125288749162074921870992a - 591561115093404775964918572464 )x^{19} + (-19522493298003619620847190424a^{2} - 174144420682471610267014347588a - 108933590095166069450218516468 )x^{18} + (356379673126556413959567515104a^{2} - 82756571171907559915589645544a - 394892390152837117168558480752 )x^{17} + (-264839480371271988268735721304a^{2} + 176630164520107266251813863312a + 508410393753340251204442506328 )x^{16} + (325566428021427941738911480136a^{2} - 511839315311174566275400136112a - 160586413046830723747258641376 )x^{15} + (523572332460069738471257109376a^{2} - 362043352554831379865090089896a + 504271036674105226132068205960 )x^{14} + (-236824937140913032071158385696a^{2} + 238670796581235961899351015432a - 190258775516914187180258345944 )x^{13} + (-252672829244225797802423439204a^{2} + 145423148318710501367384422544a - 380795261512365042940416222440 )x^{12} + (11673423312549111831630070424a^{2} - 428566089457412275469076438704a - 233710865555201925748725160760 )x^{11} + (588876815821926170322462545512a^{2} - 183476567928245240127549290848a + 395262422612113755017261003040 )x^{10} + (-418662963862610565364974469896a^{2} - 626804919363213124053276902592a - 63615434389256605159716615136 )x^{9} + (171103429408461653555236623320a^{2} - 79152872480276176621656534296a + 505639803467799814459967105528 )x^{8} + (-143804264928303111487536470424a^{2} - 127439552261435906296071087456a - 319469175878958486328320231760 )x^{7} + (573477838347210311110761943368a^{2} - 381752949713276073704804342720a - 373712537436701312103422157048 )x^{6} + (527308668368296601552781967432a^{2} + 173786870133619069441141804936a - 339369543546517085455399543472 )x^{5} + (-209801558298636468871998252032a^{2} + 109170164780227090189707697384a + 38664946722232853746633654248 )x^{4} + (595495668245254555098909663608a^{2} - 439624100592342509249698828192a + 496151410955899183681860525768 )x^{3} + (-52270257070672317445982323352a^{2} + 278866428564822217851159347424a + 430508348212547822704586963456 )x^{2} + (463874782268576437524698308384a^{2} + 247214213492133327077239606664a - 455914134863095650638849736528 )x + 609254074771923604389669611632a^{2} - 267336126232063515833315424344a + 580084042896888965620124591052 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary