← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.81920_270336_352256.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (466384492172047008153285378352a^{2} - 226737900675922442269552289088a - 521196101773738973095030417828 )x^{47} + (-59786631897475710342970715516a^{2} - 379483256473016240128304715092a - 349156858806231206427624009236 )x^{46} + (-416805972945120098684404671004a^{2} + 469025712756030487307917676590a - 514426154811586605970081675234 )x^{45} + (-587385909908641906614282844156a^{2} + 144613296472266072157266637672a - 177259838982413555487653106280 )x^{44} + (307571691733155695312053718192a^{2} + 347031550082980364599054922608a - 263394913703184810184423002740 )x^{43} + (-595416232686558036965219160038a^{2} + 213992337940883232616165535122a + 476829917335179389782561908308 )x^{42} + (380382505559351239161862079000a^{2} - 405442826701256117370345932216a + 39322972800428567499473737264 )x^{41} + (-58898733189901922057463348164a^{2} - 471310252056012808909903686964a + 239405705137427310165744474200 )x^{40} + (-186649938091669412276575236428a^{2} - 574622616247196021508846071144a + 404937424033959589962278056376 )x^{39} + (27544492349048819812398093952a^{2} - 109099956541095867515240873704a + 496112483596911538207456554796 )x^{38} + (143180364399763292638508728788a^{2} - 236840552333516560338481208800a - 58106623021612593011227004328 )x^{37} + (-181443728941492265013857747564a^{2} + 251699004839614339804896387324a - 576738413723231718766110122980 )x^{36} + (-416831498470272700783490546760a^{2} - 337865906510455944665068718324a + 194350230747253081312122426348 )x^{35} + (-514801215897053740920107183408a^{2} + 55374305052830751686054324564a + 48980724058799425505927385536 )x^{34} + (402620020869130276804895163508a^{2} + 412014963009551957729433599928a + 380132870474975892888012240564 )x^{33} + (-10666197352255897159274666916a^{2} - 155968485158634020450255007508a - 496629155705271768150859483648 )x^{32} + (-584374312651611278249441759040a^{2} + 152030410915233457049717833864a + 180134810798816065192177652056 )x^{31} + (403923309034874394365786028860a^{2} - 359533835745956900607912157224a + 445441657961584278140553781832 )x^{30} + (-82531508678645820401431448656a^{2} - 619735716490803316960191758264a - 147816125842576759138124716028 )x^{29} + (-623624187232120132264467957884a^{2} + 251855397276922908099318231960a + 551442360875063258283917243492 )x^{28} + (-242303959562474788116133999256a^{2} + 332896897596706829196290622160a + 305983441845794479676516523992 )x^{27} + (527035358021037750951596970328a^{2} + 45822034182090889021863977108a - 499622362891849807759801086464 )x^{26} + (-193625859826000574682047585616a^{2} + 562487014516251230361952947008a + 562580787873021754823193645244 )x^{25} + (251955319085926864746497647020a^{2} + 633149229447167453594289735336a - 336846146388883252428258401884 )x^{24} + (453977852161945824863304192656a^{2} + 158358898070915748366826776120a + 48167247482019917502875698200 )x^{23} + (218644467488909906391645612072a^{2} + 215016225120804459336250229584a - 201339786859392345590129695344 )x^{22} + (467236125961388251954433281992a^{2} - 127871074413398250096835458456a - 622643064512059677202509504692 )x^{21} + (582663316868980247272613242024a^{2} - 558670649041876494929963090048a + 33642376032794078883168293800 )x^{20} + (-513753708700061282887324282128a^{2} + 614871272780512318066100410952a - 29817600386450329932300864928 )x^{19} + (43911766269636464454863712592a^{2} + 374404188908997574075143772596a + 377601325015040406006794674184 )x^{18} + (-82539463092776639273667828552a^{2} + 95540819271159347065213079904a - 546026923029208005768879613360 )x^{17} + (430803825210496249735440281768a^{2} + 282768285978203647261708147416a - 350296912806897013230043619552 )x^{16} + (380985965914374019704213679544a^{2} + 418655685238347431045527613048a - 414421955511780419378976920488 )x^{15} + (-90577615073845481312182237624a^{2} - 319636800762893897184615049840a - 254451494920038008293660036040 )x^{14} + (464656443611524655561927173200a^{2} + 552689434316864701512529766000a - 390421865517161809347363409120 )x^{13} + (-333123368724421622713118938048a^{2} - 156244467916729122412212004244a - 28336779177496580933534254416 )x^{12} + (61963890402819333753317624504a^{2} + 213008686881876256276657483832a + 583080797744665556972824279240 )x^{11} + (601174719086687893337367356760a^{2} + 348953052415317434684891630256a + 208754674490392580979094678672 )x^{10} + (20129504927076254599258168712a^{2} - 207746979950994902145117415272a + 56696772662454040060135371600 )x^{9} + (-629956752120007256834507227000a^{2} + 348598123973943213888678331200a + 58298733294133759770175161960 )x^{8} + (-87808522100462894323654039832a^{2} + 58557516588236977052209460024a + 414878774909786771969099183952 )x^{7} + (-17691706471833934906353909272a^{2} - 625288251249161386978759726928a + 570590799740250964057888687816 )x^{6} + (-406147804701944911335550702168a^{2} + 153318146201249817603420974696a - 17869324745175825806749064368 )x^{5} + (42146023662263029664879795168a^{2} - 277842800276741537053224735768a + 476397857562626638629182635512 )x^{4} + (19168318618147061912863610072a^{2} + 211464238646668940860613598488a - 472182946070971961794461470496 )x^{3} + (-203534278316393736496094931592a^{2} + 434456157070906325128271062360a + 78854897920601503438346714680 )x^{2} + (474656993404432793705921915080a^{2} - 260827652494186035237460988968a + 516398992570585786635004811536 )x + 213520757021379986119113769952a^{2} + 289194721446949920413557778076a - 145853687948298640599089448104 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary