← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.81920_270336_352256.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-24731067077750105460386595804a^{2} + 310177452208279747572707883116a - 633653438634971486035193707008 )x^{47} + (575536128353609590540954370188a^{2} - 380933126932857298383264872592a + 196273752364035550985666585280 )x^{46} + (-231765544270756726816271564910a^{2} - 158971176390765536558511427550a - 167605552890293171303138620896 )x^{45} + (-491052025756609542367536329172a^{2} + 203118947838479408447275626124a + 460589955768194527313843920756 )x^{44} + (529824015506361867716406161864a^{2} + 160844004951410486400674211624a + 52541672156894473808149178440 )x^{43} + (624875567426322036005392070888a^{2} + 408894017671524202804761098360a + 528029051166958835183419188290 )x^{42} + (-81907407654090898265618256800a^{2} - 39780128704130243534680090020a + 438707032628697367319486365112 )x^{41} + (-168574259404701666751627691328a^{2} + 292756488851329616993829106800a - 225486585163068601128755401060 )x^{40} + (450259696621098978269849493616a^{2} + 210848745021410183398162441944a - 405763220487164328045575730048 )x^{39} + (-121728431326828535632088602988a^{2} + 97182153833345967631824632100a - 50014404554126893953937769448 )x^{38} + (519557357716321195039295542140a^{2} - 161279622931075037533980691540a + 218554206017424537983062199532 )x^{37} + (-63616862048155965437639599668a^{2} + 440417142595882253978216457436a + 492829515749996558524143302592 )x^{36} + (197035948983207554494224330988a^{2} + 44328308591295019675416965864a + 4184659975620612457008370408 )x^{35} + (-65080956060615555525496214344a^{2} + 535470860583440379106189959188a - 141773955935913685879246105032 )x^{34} + (466946914280914901275277000720a^{2} - 273392719558092310032584426936a - 617202175787751718718561760668 )x^{33} + (-318208076759246857558993035908a^{2} + 54772198570329090772752289820a - 321514603507793628137657364476 )x^{32} + (591502579674912765373604437264a^{2} - 35756980480259066333961442384a + 280797345930993167058558161432 )x^{31} + (-125398882642257978027133725212a^{2} + 129964959092373585095165495772a + 451448212877557023708338070560 )x^{30} + (461104806209192749719236788580a^{2} + 423256655778789560066838600528a - 86209877243232155230439877160 )x^{29} + (89280968657858929494990829424a^{2} - 571622365123406224110960089644a + 307586367815746375281201796336 )x^{28} + (483792409028649642342082645528a^{2} - 365075286714085469384204892664a + 372223502470373320857224443024 )x^{27} + (-511707733797570180924552363684a^{2} - 22880522736845257261646740492a - 494102236866375669628581017476 )x^{26} + (-423613586122679415659015904452a^{2} - 553271896398529963380443497476a - 593665409347902804235489431688 )x^{25} + (527368781542200154598967680072a^{2} - 454927255875056766335467248524a + 370517399832443574081698933020 )x^{24} + (-631998372759990131294752779384a^{2} - 137019525478583464373651836736a + 615414904945333283047489795112 )x^{23} + (429513137238493268126056129648a^{2} + 546862529255361776819112031752a + 375654739277786567828688837664 )x^{22} + (142213031395755305963166679220a^{2} + 216520055828293649805641551568a - 440004778117358235129064734548 )x^{21} + (287469897563024974340626467816a^{2} + 412628001765854301223423171464a + 387986775177380075573643034624 )x^{20} + (127972655162861016845799337816a^{2} + 592245396713419022905688147864a + 5562513383192220610606616184 )x^{19} + (498900351240018746548438222148a^{2} + 314860519954430179311046240288a - 185415929179416439985213393536 )x^{18} + (-490258901432478582025961298056a^{2} + 194247661921049023720835384136a - 513803499785189784416964898584 )x^{17} + (-603335930761381982245240625232a^{2} + 468009358179123945026658238736a - 445439832234189497508257357128 )x^{16} + (25219858768729623717293443600a^{2} + 451204485026986464986633515536a - 625494367938444013619296812056 )x^{15} + (395897231607382549514018632848a^{2} + 642538839152056721655518360a + 318481593678878357666824902448 )x^{14} + (538454492816619816457115659624a^{2} + 55878688935179033280008510112a + 419292731845367175763641089840 )x^{13} + (-413522491981232100760979672332a^{2} - 448474925650419380868561538156a - 58915983229775059458249676764 )x^{12} + (436068187622507628937258010280a^{2} - 121457195390348806180027732048a + 35452828833790278118889434944 )x^{11} + (113544870125911545257582809680a^{2} - 189013272192943222234167789896a - 162179332747495177381546186608 )x^{10} + (328017981019047713315242960248a^{2} - 471648720599508387102607322968a + 330175389581385404285808262416 )x^{9} + (145658366990081420782378750472a^{2} + 230952689408791383466664694424a + 607164739974782060249260560824 )x^{8} + (-116818781873685264078933557792a^{2} + 422535479711170231567762980200a - 512583067723876506236982384376 )x^{7} + (-39336165441728777986446393096a^{2} + 551123792575492169841043520704a + 167047472812675668652591999400 )x^{6} + (-724546324853929689587161224a^{2} + 381937828023584264648378765208a - 558565395479636657983225080336 )x^{5} + (110731641421678598202581384336a^{2} + 249499950089630775311700408168a + 74703493361904712134470837144 )x^{4} + (-80193426951352711145851604744a^{2} + 19549899137283086721391365336a + 6246067581691649840167556632 )x^{3} + (-42247874936031086265415936496a^{2} + 263196773818402075972041805936a - 24797071613671756269312240984 )x^{2} + (12957733739466815608165357752a^{2} + 584996764330064316478669976960a + 317433866979907214839381235768 )x - 289600699603137666112603446492a^{2} + 569606640133542929647667449124a - 630426649362551899685388565072 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary