← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.81920_270336_352256.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-108206708609024414145152027668a^{2} + 61876561222872679501461240832a + 97927192533242306346488186392)\mu_3 - 72418158842366714842018722698a^{2} - 103838377683031915502795146237a - 11243392534239829618755447522)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (2a^{2}\mu_3 + (3a - 1))b + ((3a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 2)))c + ((-3a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + a + 1))b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1)b^{2} + ((4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2))c + ((-2a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((3a - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4)b + (2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 + 4a^{2})b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + 4a)\cdot c + ((-2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-2a^{2} - a + 2)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} - 1))b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 2)\mu_3 - 2a - 1)b + ((a^{2} - a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 2)))c + ((4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2)b + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 3a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a - 3))b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 1)b + (4a^{2} - 3)\mu_3 + 2a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 2)))c + ((-a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - a + 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1)b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 1))b + (4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((4a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 3a))\cdot b + (2a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1)b + (-a^{2} + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4))b^{2} + ((a^{2} - a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b + (-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2)))c + ((4a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 3a + 2))b + (-2a^{2} - a - 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a\cdot \mu_3 + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2}\mu_3 + 4a^{2}))c + ((-3a^{2} + 3a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b^{2} + ((a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b + (2a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 3))b + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((-a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b + ((4a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 2))c + ((-a^{2} - a - 2)\mu_3 - a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a - 2))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + 2)b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4)b + (3a^{2} + 4)\mu_3 + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 3))b^{2} + ((-a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 4))b + (2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b - 2a\cdot \mu_3 + 2a + 2)c + ((2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((a^{2} - a + 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b + (-2a^{2} - a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a - 3)b + (4a^{2}\mu_3 + (a^{2} + a + 3)))c + ((a^{2} + a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (2a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (353927155310814495213122089172a^{2} + 264377658573874671344119685068a + 97081808709055725619249326164 )x^{47} + (-192419099906118597301898852244a^{2} + 122203981521512555529171785736a + 361112639680688409417674789924 )x^{46} + (376307204434382366816104496290a^{2} + 383992299536407490385479970476a - 198686412257451947907717606622 )x^{45} + (557276507767269785268999816308a^{2} - 154390746935621659866171204796a + 146937902980663273147710291740 )x^{44} + (488033135387365443378866515792a^{2} + 622898139878358226054842137640a + 482867096662998477926602325244 )x^{43} + (372450993266400324417349052650a^{2} - 408455846898832296519582608728a + 335388316595493077974263988598 )x^{42} + (-485617792289832827844144496636a^{2} + 20611387495940609414053091980a - 226464575813096634405759600320 )x^{41} + (-606818791508611777688468353740a^{2} - 407416470357987143936279363572a + 434455991469817369073782945588 )x^{40} + (357881731684324735424421576796a^{2} - 500274360895232770023894173904a - 457090286041511066378109098256 )x^{39} + (338753115056588745021282771028a^{2} + 291434015304995338303360355236a + 401828038528491400317086584180 )x^{38} + (-342953981726498294403811527144a^{2} + 125399365050132893958759194428a - 610072477377639111286913760240 )x^{37} + (-257437549849387551185833149272a^{2} - 190123850679988691544968150788a + 473074920790210309469953753576 )x^{36} + (348041624569027032092694199648a^{2} - 199048581813810077524849730248a + 563873388830912667823350382508 )x^{35} + (183598869293459357957869820048a^{2} - 486888043383885835609172843956a - 601491455610977262642262134000 )x^{34} + (556807449142788231019927477384a^{2} - 15994996536962052392200661076a + 121785631395392911064125017668 )x^{33} + (-275890155386836294458509758196a^{2} - 532510790894956404722267237664a - 70105038582899013337534773024 )x^{32} + (385461965440437056061349182528a^{2} + 101743111674709687159437144056a - 205909210473995302540586151600 )x^{31} + (278438090204736515298774706632a^{2} + 408816744748496738754894019420a - 413443981108148598082022828872 )x^{30} + (98647797241966293613029705148a^{2} - 97749427392242625425249861344a - 121865754228689179625197818420 )x^{29} + (515907979225368619104703362852a^{2} + 348354608636098986661154075444a - 292708894063483475038338719724 )x^{28} + (-241752301436878488828858251768a^{2} + 65072693377695166513091625640a + 386228635728626669874091806016 )x^{27} + (41039737288430611567791852236a^{2} - 229639295431306571733176824256a + 364540314593554005117679217700 )x^{26} + (615721661372713339431699337492a^{2} - 343551555079901947359357442484a + 536379073069944071320391471820 )x^{25} + (-458219517095274364245114537632a^{2} + 148591568575460843599238633848a + 540431384530917927963732353616 )x^{24} + (-392773192199003026226707313400a^{2} - 29084011647289585729633832616a - 231682141570126228729291722952 )x^{23} + (100744944645275801190868845176a^{2} - 108890628632206336497370385760a - 81954213526921224434579929560 )x^{22} + (335105140999530966311781816660a^{2} + 76331340517433031880106939452a + 101445162643691464431215843616 )x^{21} + (337591210680368818611244033680a^{2} - 493607525147307191195074233056a - 106743416118887142758074348480 )x^{20} + (-158594130325565612481093307208a^{2} - 555259158698558503425223040320a - 327687894496012934184821826072 )x^{19} + (509767081214821703329278841692a^{2} - 617095340390763761780319747140a - 447567354502015559642265212272 )x^{18} + (107986464921738485330685083128a^{2} + 505648092347786729687322621968a + 381345481700673819557831451872 )x^{17} + (187129193118015696040961870752a^{2} - 64380892221017460918501377464a + 200243760895868288449586127920 )x^{16} + (-570488155276143647948992648552a^{2} + 465091922918996519678923493656a - 70492883744842554055795454224 )x^{15} + (-166375525778595917407746738808a^{2} + 368556084930728255279967233896a + 259791179493258495983078031960 )x^{14} + (439872980916623905289705147664a^{2} - 530502984538084150069000279856a - 275449414912035641242050303240 )x^{13} + (-404058356680877974491973377220a^{2} + 540048816950748178333966258688a - 278372186120152623671859963556 )x^{12} + (-292066980967361959983606684592a^{2} + 341815861316800031800923763656a - 367806126382377235003468106216 )x^{11} + (16330271260184869632170510056a^{2} - 363921375003610493289797910808a + 104493400967429764250687772648 )x^{10} + (589551690369856398293462848160a^{2} + 451231979822540307923500126080a - 348950132443069900765134331792 )x^{9} + (184388582267944067628156113032a^{2} - 349023518134774095584967109344a - 120721412386650448397189770936 )x^{8} + (-99089189134889843164419467856a^{2} - 370460310570294811251626932712a + 499202239260277235177123351888 )x^{7} + (-603466341870571311839176235688a^{2} - 554857761692336254049537694224a - 99130745634457375907202786776 )x^{6} + (275328619222692809254820525096a^{2} + 115160696520007670175638414536a + 103108946515638201155076382672 )x^{5} + (265750713177302187225501874208a^{2} - 413178938997492389122154798136a + 328263761898812066639836021208 )x^{4} + (311836540860684580580275622496a^{2} + 406888276746393210446902440032a + 364801492596200353243586963752 )x^{3} + (322573401727869590722950019640a^{2} - 555272010213760049171458662408a - 456540266220492777638284558624 )x^{2} + (396101125606016048230652265776a^{2} - 28002619063897721491895228824a + 342817378949160322966719265336 )x + 85076489011260872630652083712a^{2} + 438699870658484584663850358676a + 366633783735067749216496382452 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary