← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.73728_139264_196608.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (8940090214283017605997297310a^{2} + 304170535507639043184170536406a + 502146976484773929559523296582 )x^{47} + (572108931150006724227112077592a^{2} + 608333577362705329793260002542a + 422463418596996819100942478180 )x^{46} + (564922031109713819140461590150a^{2} - 229327363807319649506284007886a + 335253513730445846552244502352 )x^{45} + (546725878926137814629903575428a^{2} - 387351690196903165944186550432a + 208418407507740902951273013876 )x^{44} + (279364969449784495095263197552a^{2} + 316393334943264051142194103064a - 578195964731437871077346641584 )x^{43} + (-608361126298202681598343417178a^{2} - 44004744914159953472967236028a + 530708117434778955269080676822 )x^{42} + (439490739398564379695777921612a^{2} - 283371704311026852451269887060a + 293787907646445146646329443544 )x^{41} + (471669563031507068247090285844a^{2} - 25238439874026339296471862940a - 99929179395805143035442175980 )x^{40} + (-244761093618638579838822064992a^{2} + 454022028040322418557029909700a - 428817850825808122462290043732 )x^{39} + (-142981879308495747356850771412a^{2} - 568818152291652936065710208452a + 112971617445147221545353315904 )x^{38} + (233928812311184035253379984856a^{2} + 270637658387230960322280077272a + 3314512310765996224357084672 )x^{37} + (-117309999123803462648148019136a^{2} - 286960027893851375666633234936a - 431980265659952941634225905344 )x^{36} + (167929398154499481276798506884a^{2} - 200045026630622921484813392548a + 437764090943302169310430914340 )x^{35} + (51309159964449893735261361200a^{2} + 388775060710866996963415780104a + 258457339629143859165762530592 )x^{34} + (87112361998981441576881568492a^{2} + 394903959906138263677721452836a - 355992747470463329161164965528 )x^{33} + (-442698718656199092642790505944a^{2} + 262237753009555516941440797656a - 237163561302368412313495714544 )x^{32} + (-342739653711727757208040291788a^{2} - 47544485151610987572461140960a + 570350326453275392948945203740 )x^{31} + (-401965873423888027735961309580a^{2} - 558646737777063587662545656848a - 102583390524792663317128546740 )x^{30} + (62724874582275248041440243416a^{2} - 545969934283484033996909477296a - 297126552532613810864648365576 )x^{29} + (-340368450997563270938976252616a^{2} + 481814281747321009010651876736a + 21118236070307431232449553008 )x^{28} + (592839675082279610158050588904a^{2} + 595185404063297935226653483832a - 291620009531984193043128492728 )x^{27} + (-240033542168917864321917920040a^{2} + 184649763777604358154762830808a - 615307449994933827956921604348 )x^{26} + (132011876106307659580267959840a^{2} + 375979779340843147199074118024a - 100449464904553285708676396328 )x^{25} + (-161061529746431366478042343116a^{2} - 249329737650569919720343162060a - 438914403747933460476432555472 )x^{24} + (-478348621608461047227286737484a^{2} + 551449580223318158960406251216a - 392593674676118292109939532472 )x^{23} + (299737209472219218688406777308a^{2} - 234822076658538779538101448988a + 440221562160203912720493746348 )x^{22} + (249417124086056517095042382232a^{2} - 325716367204929192635326634932a + 31536259335136068648630294208 )x^{21} + (545187287437155729361188094384a^{2} + 212271267045873473126638017136a + 593302991451157174658846081344 )x^{20} + (-353361998805177281637246775472a^{2} - 567013190161451903166497501872a - 355697473516046092996852989136 )x^{19} + (-584000831896525042323323097864a^{2} - 601997815554370447761536661588a - 610249722926574683300420778500 )x^{18} + (-476104819498378641182879925128a^{2} - 15373338468726548207505815712a - 95817356539829865243237380392 )x^{17} + (350954140035340573184290517704a^{2} - 76218134455677996561825621488a - 145714394549716044890780525760 )x^{16} + (547979663436487127776565898696a^{2} - 208481502939131433618411243624a - 318641881369071906127694944768 )x^{15} + (-83180378712293642514065129680a^{2} - 504320505818296664879759551408a - 293526161867704770576130043432 )x^{14} + (206335497281355461141676961856a^{2} + 425897202811153645108248960224a - 541190187261302832290118245696 )x^{13} + (-226624401177990985909719609856a^{2} - 499407507415906330978785626240a + 396770196815839247059719738788 )x^{12} + (-452730835435194760669750802144a^{2} + 350169901148769911290631761736a - 116192481742610139883196993944 )x^{11} + (176465038915190502809840163120a^{2} + 18742410267077538110695323592a - 360536894009257340243463597296 )x^{10} + (-146463258525051033379530390352a^{2} - 632063726012411071306769544312a - 458207004701424777578601989856 )x^{9} + (24317806687846221368676872624a^{2} - 249904519118780524400150803136a - 342946817674063904465380987400 )x^{8} + (-220315345140933625003330472096a^{2} - 295740648995436800438506072776a - 515377935195940074427742549240 )x^{7} + (328510326677667139167979572672a^{2} + 538370512773206862223258892136a + 419646219708291448181259954760 )x^{6} + (584625186021015929879630487368a^{2} + 375114846073055733708269735040a + 222632966712392809829896615808 )x^{5} + (219731246394882190822192094216a^{2} - 536922487046299919333910009208a + 415121761541412226085459445800 )x^{4} + (369791175371116182367422681984a^{2} + 15237806685041375691585877064a + 589305955001301370116513363696 )x^{3} + (-271552020598269527827023756904a^{2} + 67349591204349744947140507080a + 429383250888310480668743975360 )x^{2} + (-309066931579801763369153785808a^{2} + 609083247038375975649694525472a + 261829847157601515240897758880 )x + 510264987038003141261923868784a^{2} - 346774097039735511705651013924a + 483008216740990507962587732768 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary