← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.73728_139264_196608.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (199438496892699855312779777030a^{2} - 116305734481142587940082683618a - 153175750350833714350886000186 )x^{47} + (-362215675232445577694919813972a^{2} - 88125498924338936055110776836a - 226942903565874691346770309618 )x^{46} + (-405416257126664444804942352824a^{2} - 560243863706506591828297275970a - 468733339752614658933333817866 )x^{45} + (248361035595146678960408359720a^{2} - 41748343636202879520763276588a + 549303664666672373315312785672 )x^{44} + (82760288952935587008801306172a^{2} + 69594708226165064039070496464a + 131643642205470365843227722964 )x^{43} + (-99597201234025051110700101760a^{2} - 21205903337013897199567026702a + 13098539566967871641381754902 )x^{42} + (-445148663087727801165540193440a^{2} - 69833917716531728574239382300a - 330434847129648411590714190232 )x^{41} + (-378829871473259084998025818440a^{2} + 194003035312513130283380683740a - 517040318737835747226654183324 )x^{40} + (156233971934572598294998405800a^{2} + 3233019541932118854096658572a - 458433755997560510730643403760 )x^{39} + (-522123940576187733676921881004a^{2} + 630642051369028104793406805528a - 260359058777837262692028230460 )x^{38} + (244352364996333202940142972388a^{2} - 402013103040051942254915151128a + 406526924000904667905532029872 )x^{37} + (-331046165584803852802233707180a^{2} + 178487698731472398033800383428a - 519317932821408961461564081768 )x^{36} + (133220190469294028198357723160a^{2} - 114988858039318606621763295880a - 139747907178904577655226682856 )x^{35} + (-361729089919473951987196775984a^{2} + 197760584654420690034927842072a + 308887746538750678453087192316 )x^{34} + (142020973715492788982672773804a^{2} + 143403073145057891552460390004a - 167095112430548476582133645828 )x^{33} + (-3484164814981704537811187780a^{2} + 443351081257730172457851485008a + 133629258778715381938223991620 )x^{32} + (-540423336850810258668319280068a^{2} + 178602266024323817064940222116a - 26301196494300757861875914996 )x^{31} + (-80503452327234800918879620004a^{2} - 161147360262797161060036575068a + 405418518345060491801259463632 )x^{30} + (177689779838694181558795015352a^{2} + 123141032214901821272252101780a - 96403545433396977993403116312 )x^{29} + (632902610989178987654102724584a^{2} - 577676894580585922333999271076a - 113436925795394426045068052788 )x^{28} + (-185861420254474297487252455528a^{2} + 445209778258375368199779034032a - 297985860230167087198887323632 )x^{27} + (-360667662191670688473463075420a^{2} - 243422956291078789634149369628a + 559291904285601191607603426168 )x^{26} + (432960292879137246691878372968a^{2} - 380332223425840671768463938216a - 146794086185398750315161809920 )x^{25} + (611324511163245630864586428904a^{2} + 378744793330142475302237848104a - 593959396955409415831461054728 )x^{24} + (-465576232268638971921425565628a^{2} + 239989230627015494283047401460a - 293030868154963300443276239416 )x^{23} + (521400485636016387624200344564a^{2} + 157035151913998299950311500064a - 524657596885175140392467548748 )x^{22} + (-233673032509188474663637852700a^{2} - 134532306992916383692591293384a + 631251353670940870380075450680 )x^{21} + (352704617046731743316839575312a^{2} - 398812417662640497362667168648a - 13737058139460946213860264440 )x^{20} + (-598639262108732896106295261720a^{2} - 479546071484895383176175672360a + 232279538579340391800136007256 )x^{19} + (276084453513724707347847769716a^{2} - 429293003693840418870798065104a + 41698890712063865373114763808 )x^{18} + (-18602623981963852667816551848a^{2} - 388328102786982963755600939000a - 527387436490520584138063609968 )x^{17} + (547679376029484991056547813480a^{2} + 353052614923627821034052344080a - 233508093174231230256415213496 )x^{16} + (-239961066630535899842097262840a^{2} - 43761961575657300972085859072a + 4316451658184749959260569472 )x^{15} + (378788983646089567575794542184a^{2} - 122834505633524418735238607816a + 476975658949779285146998816752 )x^{14} + (528273045316396434703745573408a^{2} + 476891274724630623432141648040a + 410111950080294503381922553072 )x^{13} + (154603800815213431277407398288a^{2} - 507692578164985868090062337700a + 627274789468715922749218080052 )x^{12} + (138593841191452638362201526128a^{2} - 188558584660018488111911174712a + 451460388019286298888437584816 )x^{11} + (591026874394035360966791628984a^{2} - 342413161187986075816614214424a - 314736558857665818280951458224 )x^{10} + (104348202001655604902327424944a^{2} - 272892423876606611464642922304a + 607601355675460158917036185216 )x^{9} + (178296146290825720086931795680a^{2} + 160103337975445341708327229832a - 365695981487633830586667500472 )x^{8} + (-446090917876213518183083666904a^{2} + 238931773084196122089151260648a - 213973667014910305792924393184 )x^{7} + (24370069394978394506055683968a^{2} + 400305737213958008439542604872a - 546992388048546335547178047400 )x^{6} + (89512878695601678504831012248a^{2} - 159321040702775393404762549312a - 133314588652225249808403557272 )x^{5} + (250855377290177694368547954016a^{2} + 430030728613833666816072375144a - 421141931627114366615376202416 )x^{4} + (132717075899905294536308307312a^{2} - 302133917736279501458598000160a - 607738205876977892964820041928 )x^{3} + (-475875260689300915456378914528a^{2} + 38561564159421225910605519608a + 598892541330074852071927007688 )x^{2} + (282255592123268347173018650960a^{2} - 554340558935582929202494092352a - 149434819588115678336630577888 )x + 145155377328497972457664602780a^{2} - 440917743405311904468438711396a + 381375792210397800796926285948 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary