ex.24.4.1.73728_139264_196608.e

Base Field

\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗

Description

exceptional, SL(2,3)

Construction

Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below

Semistability defect

\( e = 24\)

Conductor exponent

\( v(N) = 4\)

Character Order

4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order

4

Conductor exponent

6

Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :

\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).

\( x^{48} + (-35407959954126157473376299714a^{2} + 539016992354465055970326613150a - 197523800519242889430259597210 )x^{47} + (-32726402080191110435898221850a^{2} + 18918071813001279435135503164a - 451840328635499343201999007040 )x^{46} + (502230496898355302695672094166a^{2} + 576463389873757223412183242566a - 256680537860203078450442237686 )x^{45} + (248665330797229868582526167252a^{2} + 72357803531746636268936707012a - 428196237502401384499588380504 )x^{44} + (-244455632007323825521428782124a^{2} + 72360854215259159638767415144a + 42354578617928721404631559072 )x^{43} + (127255014142551035202892279798a^{2} + 627742544597808962033766287396a - 478858409031047542135873731876 )x^{42} + (-436184253686867937418766646136a^{2} + 613180542149155102485760958484a - 301059882253073635368763491812 )x^{41} + (-51773646478168749898362756860a^{2} + 588130563296784450299617936364a - 335544530418255551000705829292 )x^{40} + (-137000869807398190344769435032a^{2} - 3080367583270101481693426620a + 153655122370673862035920695152 )x^{39} + (-599037787978036577010074994740a^{2} + 446365118609994439125534870424a + 37172483496764482556679525176 )x^{38} + (-455930580403387284857671056872a^{2} + 267616755538902077788407986404a - 51811017705634785448429156400 )x^{37} + (117312343366041451426322665556a^{2} + 40626526121082391968018635512a - 422293866719347249961996242076 )x^{36} + (64143993275855958805835504304a^{2} + 213675510172669889029473299632a - 448190112283945224696439670868 )x^{35} + (512425920116097688546178338988a^{2} - 413589753976758583574024733368a + 169184606182580514440780296252 )x^{34} + (-322883068797127085937559562096a^{2} + 227586323184354303779781326988a - 260815751605533366521864645364 )x^{33} + (387464273731300428602391394784a^{2} - 256227312065472990285351935420a + 11832338593531651534440094980 )x^{32} + (191854939807060610722704938784a^{2} + 578906234932008120066651497464a - 218459724378887317969289282260 )x^{31} + (-48693864001352795303358676104a^{2} - 487833514685781562126450451332a - 135943575787559144210849786968 )x^{30} + (452750445029530091938186870352a^{2} - 540844735082266146627070118748a - 6982023738769187292443961368 )x^{29} + (-192843129484369088333660213980a^{2} - 5232235417811454964559407132a + 158054592954163548482245919044 )x^{28} + (-424207217127542569123507422960a^{2} + 158879336548346041929568869672a + 555485140977034804357197621784 )x^{27} + (618025524524145875445757989256a^{2} + 525657572428905838621642138244a - 227333886572614820328901304772 )x^{26} + (-583678162655815924270683416904a^{2} - 98348444703810697045816858936a - 55061922679068454382301616648 )x^{25} + (463227510538403900144608126760a^{2} - 449775883478868538090422959348a - 39130106470446919886040217924 )x^{24} + (-140971946347718906817458637560a^{2} - 288931705282152481622007912128a + 289992150344408285759159109188 )x^{23} + (-374259123462206461642820055004a^{2} - 376926327977996399040651022444a - 296544897519475565589824213624 )x^{22} + (220536999201451045598806498992a^{2} + 277547237823446075484737348248a - 533725535354794119054977160892 )x^{21} + (444316877610131307286239455880a^{2} + 53724219292546466379521431792a + 180084432541003268647563609392 )x^{20} + (-295750280513336815560848317464a^{2} - 400307984477862181617081653272a + 354610360404178858567671295344 )x^{19} + (-268382053363447201630345670788a^{2} - 417585474966375887280712071108a + 409207945947897094085457696160 )x^{18} + (78404723025166525813997303040a^{2} - 60326766796179231088463652496a + 320097658698360237306552458432 )x^{17} + (-96211970656897492897523373936a^{2} - 189040896367144193291050567424a + 110974752664322964650206478880 )x^{16} + (36790253889316993192512442920a^{2} + 126565280651560325939746941792a - 330768383233452540867808256296 )x^{15} + (-381430332662310884571169432848a^{2} - 566455548488845637013735522264a - 329283635741919751414291493448 )x^{14} + (220107530073211181262117574528a^{2} + 408067420601006794772983334680a - 97224774960048233598903281064 )x^{13} + (127803666061151180378979294804a^{2} + 437853462264603111290731823876a + 383199819566193762307063596552 )x^{12} + (-597161057178176152008081033968a^{2} + 324642841001247202448445671088a + 212845183009107772727413066256 )x^{11} + (275230260875167852906120229832a^{2} + 361403351330788419668103886648a + 141033929577312514774268885544 )x^{10} + (612323521558382333536702233112a^{2} - 569770330688185166336413263696a - 346787584060261449114684093072 )x^{9} + (212161610070222682459314099536a^{2} - 524681398833947074972595740144a + 88273564211352970265710297520 )x^{8} + (-511841782570090204681393864696a^{2} + 278369881244051685574209826032a + 533069961981930743524911461568 )x^{7} + (76181833503533216059659728688a^{2} - 172995671394546524586848597960a - 163954187589817825363959741192 )x^{6} + (-336319856550404884427141073496a^{2} - 308951770841775047193536922104a + 33385220646593447889321957128 )x^{5} + (-197205523058739135099711737448a^{2} + 574806966020026522173810339616a - 430844148638116352633021850080 )x^{4} + (245031184318038919456522078696a^{2} + 8790028720375788703925061040a - 17557855280251478903001151712 )x^{3} + (473849622057948397427378854392a^{2} - 558454879920619899828920272568a - 473359368072664606037613745016 )x^{2} + (573546403701145281510488756192a^{2} - 129523986643492924359919710880a - 476472490364254200853326444800 )x - 337500788345486817880258187356a^{2} + 135100520169377381608893612020a + 458611906421092368434282180992 \)