← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.73728_139264_196608.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (243786547061109030392153374054a^{2} - 351152191327968600726238760362a + 546495026653183104638896893606 )x^{47} + (348052458248609741903080019694a^{2} + 240403208136667810352099900422a + 493877867020546099127949474930 )x^{46} + (-253175739831202002067649211732a^{2} + 473922454329881599610274916466a - 521187848337828007734720346708 )x^{45} + (-114358434832273532992683742776a^{2} - 145263991176354313214711218680a + 160043090529753951904618332452 )x^{44} + (-554574810839073347539110706856a^{2} + 429505699125946426073685069824a + 420240352577529209998075498868 )x^{43} + (145412704825331481898329079406a^{2} - 363504545045261341532632552542a - 534109847941711143023072783640 )x^{42} + (447230258492283154174405483100a^{2} - 122495014769873096942886111160a - 571518244923943315502569368720 )x^{41} + (-339876578862945202779912875068a^{2} + 389448375372463602849909770892a + 514036448241935380469102767176 )x^{40} + (-208371246845034323764032417200a^{2} + 330758201528200261500454493668a + 81150175105804784739939849972 )x^{39} + (208403089177313289846142562416a^{2} - 172992684621784547887454207148a - 597416955510933147920360770012 )x^{38} + (53209030614566184825255280500a^{2} + 186443898065618918103281633308a - 148716760485579799221499759804 )x^{37} + (-507297110639552080199305327168a^{2} + 246551429073597357386156810680a - 274263405268375670666253759452 )x^{36} + (506199794872895713385736385076a^{2} - 291231654237724627418840461716a + 211962453999878858973718152180 )x^{35} + (174184083660329127119026229948a^{2} + 175087064702878295356058541532a + 205870016661382385034960264732 )x^{34} + (159538522326691841163326445644a^{2} - 532602241352541781733157713744a + 286034532065829533943734684488 )x^{33} + (-365631294031774660640363715224a^{2} - 373201205496508340218616346524a + 20390429456659246990411299468 )x^{32} + (-473242219373245801380668917440a^{2} + 143273719038804130333380990564a - 302002619356184044635547286140 )x^{31} + (364569913270634740326305468576a^{2} - 609174081939634357724937057000a + 206912774426012253295389406988 )x^{30} + (-484772453968346340542845822048a^{2} + 621640839174102517581906350020a - 246369004517497434045621181996 )x^{29} + (499138175883456122932711670416a^{2} - 301456846426086548736108937676a + 272424774508112325790578635500 )x^{28} + (-165000774236875661585777158040a^{2} - 305245379289573900882863331456a - 254684936653783966226314907520 )x^{27} + (33152939878362321159714817148a^{2} + 483937187182537003547667128860a - 342622314847083769368820392260 )x^{26} + (403406766445780572556890031640a^{2} - 208003031167314208577842895024a - 553906039841938497205893017152 )x^{25} + (-419356820692291255588868196148a^{2} - 182418983384044019932600678724a - 365775521265748333906426964164 )x^{24} + (393026046874939044686223736616a^{2} + 191525403870172849906850411652a - 35598410300235177977048879560 )x^{23} + (-485040520885453017818025054448a^{2} + 79156642833518543907688129132a + 335214035111421505210636735568 )x^{22} + (-216860903400858914250646915220a^{2} + 26243658847993946829686373068a + 603190665799700781863266755576 )x^{21} + (-542643913816256999739184238912a^{2} + 294711579248278873714373611408a - 236828336379682037354418131336 )x^{20} + (597795291111280763493587069504a^{2} + 26693031322460228546057837160a + 164876594100509448968984113832 )x^{19} + (-4144328562647558058922398160a^{2} - 147758829499291025223608985264a + 171678430703870888194663491236 )x^{18} + (287186405579556810556142995112a^{2} - 76808850443203586027203862824a - 21919247175353341531090671504 )x^{17} + (191268961257760044610101672888a^{2} - 178727105313799701156233209152a + 312992459508700336704217344664 )x^{16} + (-537784454731825197372317484312a^{2} + 501956047185664930352906376120a - 577309725337228636814891358456 )x^{15} + (534778304092931410264258717016a^{2} + 480857055137838176441336763288a - 9502152901759767150221031448 )x^{14} + (-255697895340723775870176202720a^{2} + 418803950161628010039211889672a - 630897865746301838143372765968 )x^{13} + (-427543189473135689667056094964a^{2} - 236747402065619392638672711344a - 319655224602936981192143773240 )x^{12} + (336905084747236330459027192096a^{2} - 46902764936224614855677760248a - 230737734572650702518350456568 )x^{11} + (161724574789786163250433751360a^{2} + 611083018840935650181553637464a + 548583065882915400539428840312 )x^{10} + (-621406895419230553899593359176a^{2} - 33924722347084283171105092488a + 517561804483452850542517043680 )x^{9} + (538144106800898758332581429536a^{2} + 438505312097698915998232625904a - 256740941848931462327328848256 )x^{8} + (235261255094423051565901508904a^{2} - 515840345655500751607138458112a + 304818303449118551567105854088 )x^{7} + (70614587308385404200115518496a^{2} + 466830712053944012563150719288a + 328811051701214533893775598616 )x^{6} + (-317325340012458088845021424240a^{2} + 48347741592219893799051791984a + 56124925241874115432482035496 )x^{5} + (-59471891922759389671906924960a^{2} + 283893864326118976953405708720a - 602596109801135118141747377384 )x^{4} + (-368040538797100429616635503304a^{2} - 176698622534119684607161465704a + 4312184436985558293379236376 )x^{3} + (270174283102526371528619258416a^{2} + 332660060275758439909779341672a + 46764931048716290557975135296 )x^{2} + (19374385713329415293650062816a^{2} - 247439352959663112803842912576a - 399437143994784361279638401568 )x + 142890002358361007514299239236a^{2} - 474983556121690257672990460120a - 60259630356147751697428513300 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary