← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.73728_139264_196608.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (619914766881481486437032997054a^{2} - 538135201195347507819594112506a + 37322656327583123355896479534 )x^{47} + (115281196775049839115741925058a^{2} + 12485839248730349262543391082a + 383425173291787163038183433264 )x^{46} + (-43587842957447786688003173468a^{2} - 468040608922660503648993243592a - 574099034576200004702530420186 )x^{45} + (-333370311910669393848892653828a^{2} + 552328504341853364265259461168a + 368110617002363193998247527704 )x^{44} + (-201017986241827093409695534164a^{2} - 37596157588384684569323110584a - 592900287146552265189006620344 )x^{43} + (61851048552831849320179582364a^{2} + 146302175962304024442312681638a + 296464745458691242841536213268 )x^{42} + (10623028918484463555545107808a^{2} - 474601908122197220876390758836a - 580831196405083054437494839104 )x^{41} + (-185194737122263187694230020192a^{2} + 590401305291820408660181208652a - 96572104014942380567193233656 )x^{40} + (-577853927832179329855403916072a^{2} + 481139370185265068326551051216a - 504616637766294522045617376548 )x^{39} + (436604750012439458170764802828a^{2} - 190108020843977820230124115300a - 244316884805671121486897381548 )x^{38} + (275829152542140123806317756708a^{2} - 515543310839483780495730063648a + 600778513148706491627701591896 )x^{37} + (-624192152836158316331970376684a^{2} + 65157756788470911438152109092a + 470671055517029143279418737352 )x^{36} + (-517894099077468145938816622420a^{2} - 201182510390515829273358194924a + 386818654546400697894730465904 )x^{35} + (126134373007311853679723345860a^{2} - 185964469949563727356862379552a + 218693619976723639665055852704 )x^{34} + (-585872236122773452571896589096a^{2} - 33299156410312644040303958144a + 198103213812235379103241730256 )x^{33} + (-166185338599505648823646675752a^{2} - 335358331178017806443738272540a + 533372563974266832744195596840 )x^{32} + (445803813963056702610619250204a^{2} - 277116869041799132875128926944a - 623374299250554289628799560648 )x^{31} + (-506400072662620469455456140444a^{2} - 622287540578180066207845359860a - 176889703059180477456186814332 )x^{30} + (567164263008977283183524004216a^{2} + 497307619150145288052187393556a + 613592618638085201563832941532 )x^{29} + (584361719449251081685056177612a^{2} - 626934093765766785642730891520a - 124867921101134750696994130176 )x^{28} + (-162937014180114276031484830632a^{2} - 219239849563895421185007805712a + 12667618924762437336933133632 )x^{27} + (368336070774200829486557319116a^{2} + 22946510395221814964449128200a + 274235051836813677917039884456 )x^{26} + (-175500576782965964888861567032a^{2} + 510853274774025765119973100264a - 277744812652526613175841906800 )x^{25} + (-400587285415802130351535594576a^{2} - 167065132806817412507341161828a - 40819653947394225281665294456 )x^{24} + (440141957976919394198259064104a^{2} - 104259719438029127574538789692a - 482935649439784084123909056956 )x^{23} + (444501844927681587136950062804a^{2} + 300873589814503883227164327328a + 140718080763085188462475232280 )x^{22} + (247358528079450243251282329260a^{2} - 123812630860458596297175902388a - 124271410221455148262581075292 )x^{21} + (-261672946367061321994784308992a^{2} - 287545662186666278184218116288a - 51017557443590614959369771960 )x^{20} + (609934521164135067213095489664a^{2} - 84977737606070905780932735184a - 30493321340509426105794685512 )x^{19} + (591663654825326785615508034644a^{2} + 246888178141982932513045681832a + 270870866985908616087527695588 )x^{18} + (243080636993603428470719390072a^{2} - 41166882433845481373059635600a - 107585210308830601619340962584 )x^{17} + (-514164608231802318202867251744a^{2} - 507129767153236662190282346912a - 418978161181425779186137682184 )x^{16} + (-123841168435196796256391938800a^{2} + 453545619879655563779634624616a - 39732123048602210015726001304 )x^{15} + (-614939658830391146225336018056a^{2} - 222956677633112925597390221904a + 400780297596597331239712450288 )x^{14} + (-27242157027592259230352201936a^{2} - 3724336917995156400752250704a + 611798796464026332420729643560 )x^{13} + (-311391437273905667149138993860a^{2} - 116680273737674628111901665916a + 220657004624448753711574848860 )x^{12} + (618364465883406778637333765896a^{2} - 383456578326650846496359347160a - 518423656563317547490917048504 )x^{11} + (-364507162544302222528653108936a^{2} - 615238489747851385775111129472a - 403395283420816075456200831656 )x^{10} + (598384515431816323226208783384a^{2} + 354996782553948365212158632872a + 114187555968479731623240945632 )x^{9} + (364867592162089385791739584856a^{2} - 16867548842047339085491920568a - 249929852155161547880403255816 )x^{8} + (164506109100707877449296934384a^{2} - 174652967216368669926325974464a - 340116891421490956781053844552 )x^{7} + (229920387222239781033456214832a^{2} - 523175306875335964262807701448a - 130012817650504863091163469176 )x^{6} + (-60548037274596998235741425688a^{2} - 241275591806968695949881195912a + 229881151355017049335513733152 )x^{5} + (380090092060710643901309452912a^{2} - 151302454446730406350474495576a + 152389920262486441994902015592 )x^{4} + (-353770102387068503269779639640a^{2} + 185454099067732697292293347560a + 623283541374775785812654128240 )x^{3} + (-453903748857762657804244586768a^{2} - 376863708584094227108696330160a - 440376918818642378919093369448 )x^{2} + (106303024383724576971610282800a^{2} + 254295460769885594737528215744a + 236529814118008258224574532704 )x + 25745329306589717558029433352a^{2} - 210359964543891253196954207020a + 130510502825788399361242795292 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary