← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.73728_139264_196608.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-368541326331512727194140534554a^{2} - 160653784649551763019456280642a - 486309116728220284071650235026 )x^{47} + (366442350839533050020916847578a^{2} + 520187878397836237821836003264a + 584663895144121139903686621674 )x^{46} + (-507636359006348810013564009522a^{2} - 309106623075769681471181882276a - 186774235028345491509199398024 )x^{45} + (390224827212164254375688144672a^{2} + 182813856715421838061140074604a + 443347476160337596634356021516 )x^{44} + (421505370755559710481297403784a^{2} - 328876223647509036639509372488a - 604899044801461230813854511172 )x^{43} + (-439775636576070148834713250068a^{2} + 340443453109194747125241996828a + 320552005564037897247449063994 )x^{42} + (357953773814841011272177438720a^{2} - 559378807774475994269363503988a - 446552842835325289717345339692 )x^{41} + (-535509776521647765332340075572a^{2} + 354185042135986112151478127844a - 447854956591982689634904198156 )x^{40} + (560015395544501376106706770384a^{2} + 372858147932197949672241170408a + 74175629744770460811682073016 )x^{39} + (-469704032486892378029867693160a^{2} - 310297139364835778564523104308a - 590290758147281339652362560224 )x^{38} + (180215284435960890700342961884a^{2} + 352930765435285202911914284848a - 121182255779225938354452274104 )x^{37} + (-466934866092437160594953361172a^{2} + 493374057006970227024956293584a + 41200165814652223768059699824 )x^{36} + (64261616393215794378517325876a^{2} + 619685097953071418952385326004a - 346050298643013883221893180432 )x^{35} + (369886094200319867190581448768a^{2} + 29366699898340055730418524980a - 281357819976286676957054892868 )x^{34} + (173761705332884690387631009680a^{2} + 291088004821599803347396695008a + 109097762602510526908246639052 )x^{33} + (494528151737612086963842409964a^{2} - 352226467969160691984223473864a + 352969630388348991479867007272 )x^{32} + (105726726745148455862600817012a^{2} + 479983947106753579650413528452a + 330110959033920951286588131664 )x^{31} + (-468560924554570864077372606868a^{2} - 280245164996996002198550438360a - 551386697330458489707592119848 )x^{30} + (5165488414856072959176774228a^{2} + 204888945301124664331065694820a - 606295639535626281325859966016 )x^{29} + (92355148706957313586241859596a^{2} - 561457826801128561131406773524a - 405959562915576268090171577220 )x^{28} + (-513182823718819354096937368184a^{2} - 411406921456892826402098769264a + 92276190495134491282457012848 )x^{27} + (-536089268136535678469580898536a^{2} + 456145429765926440081829463692a - 152924466431421962068861556200 )x^{26} + (499852664702791188548820258200a^{2} - 343165792403929927792811352384a - 182540935749069065553308051296 )x^{25} + (-432160482478064836021853922932a^{2} - 320046741911547965600820219212a - 276042026013191030421449586356 )x^{24} + (388500806121552751587942060420a^{2} - 330119971087130225138035556576a - 4564265527898666745061913788 )x^{23} + (411594929413086487376155179680a^{2} + 24080139138039267744565870232a + 316682024584201070626906181140 )x^{22} + (-80134499603543059547278482928a^{2} - 22358648144579262667950815412a - 622895688100141922914263936508 )x^{21} + (627934838167074738723585277224a^{2} - 124375235825318888273667727736a + 532039152404750532298692514072 )x^{20} + (598979686758145947716509952208a^{2} + 242342097013508643643905330760a - 254769698496127038343942905664 )x^{19} + (401394220804430367366613307472a^{2} - 287349564220893611440612801260a - 279269155454590351325526839080 )x^{18} + (91401977387433938740358616816a^{2} + 250902045677862102196004581800a - 552951855534197273232290158856 )x^{17} + (-577287878865290356365016440536a^{2} - 570656727508186034281065821288a - 89521410579328364358102344368 )x^{16} + (550424008981131252827728184304a^{2} - 297310790022806744007669756688a - 556362448553375604027217099320 )x^{15} + (-264818863640218492581551377104a^{2} + 53506896106829141967965604168a + 86927022474157302201434257184 )x^{14} + (-281079434498917231844124847760a^{2} - 77159430127622801217245350120a + 193252652542972456881818054552 )x^{13} + (-314992390100531977370143379956a^{2} + 429847678995527390872295800528a + 109485468766228081849971971748 )x^{12} + (-166157575731678569067708115040a^{2} + 119178719024368357045310098784a - 504240892459239682157814029272 )x^{11} + (374542699193680045536241933056a^{2} + 431161861620871744607629242096a - 268416707385854797403813924616 )x^{10} + (-464018506382071392378052530568a^{2} - 133324912663387986638096842512a + 305785948732486852891193895760 )x^{9} + (496295524371103165170988588472a^{2} - 426186878282259042728755503408a - 442982266559586161687762833656 )x^{8} + (301653804714279155125698843240a^{2} - 122695684798883985901931464824a - 174186670922020073537789031176 )x^{7} + (-554362339467088201116637208032a^{2} + 98205415481428801258959731480a - 282971110076218196766244391128 )x^{6} + (535756374402758130547048576464a^{2} - 242979063852676560633874580584a - 625267444196457071701241403096 )x^{5} + (-496414613509076280638544264952a^{2} + 453927710217627161453946072264a - 493078905244484259327820583248 )x^{4} + (-405335252020102251038299164456a^{2} + 543725676327499601410633575920a - 443631242246174168926223311928 )x^{3} + (606171153964886385181731161880a^{2} - 64646978854709974767066289024a + 565042494979996763190479410992 )x^{2} + (-263529792917118030679349132912a^{2} - 43728493503361973383920046208a - 148033879143263311155687088544 )x + 289622962685390127780601170348a^{2} - 433691518404735772239084812800a + 213601506066989575528122007104 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary