← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.73728_139264_196608.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((76721180144847830081033729172a^{2} + 16575599918690050081203935199a + 101266337377265699765411586621)\mu_3 - 150168525069183650146485933073a^{2} + 12272578616208934842188928724a - 38360590072423915040516864586)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(a\cdot c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a - 3)\mu_3 - a^{2} + a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b - 2a^{2}\mu_3 + 2a + 4)c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b + (4a^{2}\mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2})b^{2} + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 4)b + (4a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - a - 3))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b + ((a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 2))c + ((3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b + (2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a - 3))b + ((a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} + 1)))c + ((-2a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 2)b + (-3a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((4\mu_3 + (a^{2} - a - 1))b^{2} + ((-a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 3))b + (-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a + 4))b + (4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a\cdot \mu_3 + (2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2)))c + ((2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b + (-2a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + (-a - 1)\mu_3 - 2a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + 4a^{2})b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2)b^{2} + ((-a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 2)b - 2\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3)\mu_3 + (3a + 4))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a + 2)b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 + 2a^{2})b + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a))\cdot c + ((2a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-a\cdot \mu_3 - a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (a + 3))b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-a + 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 3)b + 4a^{2}\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b^{2} + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} + 3a + 4))b + ((a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4)))c + ((-2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2))b + (-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + 2a^{2} + a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - a^{2} + 3a + 4)b + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 4a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a)\cdot b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2))c + ((-a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((-a^{2} + 3a + 1)\mu_3 + (a^{2} + a + 4))b - 2a^{2}\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2))c + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (a - 3))b^{2} + ((a + 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3a - 3))b - 2a^{2}\mu_3 + 2a^{2} + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 1)b + ((-a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a - 3)))c + ((-3a^{2} - a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + (4a^{2} + 1)\mu_3 - 2a \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-412889376499921902273514131578a^{2} + 74192672197274249766699796102a + 81670706495992298435270076558 )x^{47} + (132151022114777983923115694364a^{2} + 168565344744191438019160191734a - 134105633537353921957830693410 )x^{46} + (579230119524829883790740237978a^{2} - 237956549961040725733065406676a - 171044647058764973897997583838 )x^{45} + (621271993898275648968688953092a^{2} - 621733085107871565592566205068a - 34323273600911139279100115516 )x^{44} + (-156845244571185064224770438476a^{2} - 247928880544567945090745605264a - 369011683508623999676923037660 )x^{43} + (239203189436566296944021488850a^{2} + 7295689173721910814835898386a - 555487276786288516645370718538 )x^{42} + (387124657987920250181182287256a^{2} - 585548050000961280067533477308a + 96639976853937989593410110296 )x^{41} + (71602188550913322175809234088a^{2} + 301632092016307058738611856760a - 1839056194267563914405282784 )x^{40} + (403221630556401908082934189120a^{2} - 464251237187007606030622146608a + 461801955482732201098990450812 )x^{39} + (-257643630917304718816382146384a^{2} + 485436621973149853793391173160a - 519045464923618439054896701436 )x^{38} + (352288388780021241224141264056a^{2} + 478926407188069961326136489048a + 86745234106280563996559168772 )x^{37} + (565344778782008298398457729592a^{2} - 140135209513148270669491655240a + 176751197533803116938598146592 )x^{36} + (-490255109859464667702292253024a^{2} + 482554586439562586320662898968a + 362264187555665523476157452084 )x^{35} + (-92287432371896993993106417824a^{2} - 213959300952511849538917420084a + 162804943803592806655716449416 )x^{34} + (497880969843886239024840843532a^{2} + 27622216338696205557648550916a - 161812641575234019953287796168 )x^{33} + (22142159674162623599993294072a^{2} + 541117607585623508164638325020a + 461341973914313077069901203860 )x^{32} + (42988811002553690223300093296a^{2} + 631684964541975140013571234252a - 160099798345889805918532880224 )x^{31} + (-168232547539484621752532878248a^{2} + 241575299594619906416132385780a + 579538810187250280831399122452 )x^{30} + (231168047724806865656569880876a^{2} + 108158254107354578284937585652a - 422302840004516344007168619992 )x^{29} + (-149294698819749840421894131364a^{2} - 395202463969479739306401993072a + 185393898019383099257799047512 )x^{28} + (-334699530900318194221247896408a^{2} - 298736783966401390787201017368a - 461188679846561329468209424896 )x^{27} + (-589172056064650160278187380180a^{2} - 165540888225919690748334903664a + 396080710553340687428100392268 )x^{26} + (38704163772432953580469013968a^{2} - 230156883511991588151515037752a + 168206907717237470069138564200 )x^{25} + (602469457368581031807352575740a^{2} + 380531250190919867907005529780a - 45986417361797656818429683044 )x^{24} + (553226153411202297334071395356a^{2} - 519384315295877161530446813388a - 458206028557631735287780144260 )x^{23} + (295034839067055787034377973400a^{2} - 367781255606917370869709432140a - 362669211958589644905103932724 )x^{22} + (-10978609675482580990862393380a^{2} + 5266933977771350232344335568a + 196450472523429122339553519588 )x^{21} + (149762008511151946497302280376a^{2} - 295567266821596635225365440232a + 372409167311651861635740791992 )x^{20} + (-18992598153534651611796741544a^{2} - 591226270672932772514488068160a + 625604803774204397953956838488 )x^{19} + (-355560772458365528635893534508a^{2} + 522692181832295889366301412972a + 69281373518134221374308352228 )x^{18} + (-239490597232756645548410274464a^{2} - 419435302961901732298905525240a + 7519100914969698849027388952 )x^{17} + (-388406731755595641209421148992a^{2} + 29426743640040547060336766088a - 586116404300175004519057521000 )x^{16} + (-441461277209580479415781489952a^{2} - 119884144815561018285723949160a + 193928583138890519622272907824 )x^{15} + (-136455807010149454516095728792a^{2} - 330757379609964035647711891808a + 478563728785519054174342224168 )x^{14} + (-444488132207472811266678380032a^{2} + 23114831983436645841293766864a - 514374681487183512663282228360 )x^{13} + (-163241136168307028831326226800a^{2} + 180279788854911818301930267004a - 596407958500832586371865156208 )x^{12} + (-498960331504957900077772536440a^{2} + 261136102354761022039935011168a + 565838486396505364665545891360 )x^{11} + (163872359155319222946948977608a^{2} - 429786293147182851883226956000a - 508238111247586254343937245536 )x^{10} + (510558771978318012583568302352a^{2} + 630981898757231458300180310248a - 155748563487605275742957774976 )x^{9} + (-564802228379932916780999224736a^{2} - 143394403096538296060405283008a + 228646300408792369100011318224 )x^{8} + (224289692058455156493899658384a^{2} - 60035254983203466606995009656a + 450952188717556277717589802944 )x^{7} + (577334766302645427685231974016a^{2} + 133360816622285376373485403192a - 20095510517286572260647889352 )x^{6} + (561522750324825949243790750448a^{2} + 518150719581823475370704389992a - 39456352526615042334741094544 )x^{5} + (-214640251396281634403752047016a^{2} - 136698033118493437342981533024a + 101375056467211737542107718152 )x^{4} + (-165890198597621439304325590192a^{2} - 441036363584857450082123445352a - 55603250333880576718804272488 )x^{3} + (230357803312948288765566390008a^{2} + 209877144026893450074141838912a - 300565978068794496274413983832 )x^{2} + (440869681538831142565537870144a^{2} - 206937052323655391541155424416a + 240163088813348234213797197184 )x - 540739431520293146680515765720a^{2} + 19616104064661092225142747048a + 315365189224811959091093691436 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary