← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.32768_401408_434176.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (165625478833498983505310912120a^{2} - 230928405776651555708150578882a - 113225996814299655479146972488 )x^{47} + (532510020412016821532105200a^{2} - 432510137801755040158593624706a - 165822621514864413189484933560 )x^{46} + (-622367236869414385500212321948a^{2} + 304091675144305335912727279482a + 282676555809619066261613047474 )x^{45} + (-330263978984343918300834511972a^{2} + 50284408223348098688835080960a + 320897181538006779466828160920 )x^{44} + (-182544321223106696692474289776a^{2} - 440939565592221257455557543436a + 435098646267175308282641350036 )x^{43} + (-328347628389995398203921684578a^{2} + 595400585031508704809139777626a + 171826370750472117043491145046 )x^{42} + (81167547296534776656473191624a^{2} + 360435704585629904266763214300a + 109193132412848530404478572092 )x^{41} + (-443456719134332267299032983808a^{2} + 422940011291348834327401629664a + 503627603838300875161868787784 )x^{40} + (-437401683107668640428101125636a^{2} + 369164442664353675722680663296a + 526624159407060693005770388056 )x^{39} + (2363850697901841866949768764a^{2} + 1468799230734840398673806768a + 548524054970640832755721144152 )x^{38} + (-474421939937220214706618988348a^{2} + 596209883940572664954476457176a + 324099582562346444605693853572 )x^{37} + (-194440374398501853718712995728a^{2} + 85191401460892491526245228200a + 159944560194663635035076608728 )x^{36} + (-386049496731348460563411568204a^{2} + 396542527967576373227439519100a - 59669905300473950805103552416 )x^{35} + (489912235837229271408173200188a^{2} - 430034286939968981309518590828a - 401454834687594355469524491496 )x^{34} + (219109802829785622306131077828a^{2} + 50820434122408625444648597700a - 618921418270585961488239176032 )x^{33} + (-458384924751911321792234769800a^{2} - 228367634865725144701484024780a - 474355206171382096098237700552 )x^{32} + (-371498539017529854533454985236a^{2} - 122945363669609948892277429984a - 415079588600041094210312504280 )x^{31} + (-338805466313916803062537324212a^{2} - 65169512786535292970915088596a + 165913591155195735480514940180 )x^{30} + (259181940494979877562689335696a^{2} - 459352176270321035208017496248a + 567143263333395276689076776492 )x^{29} + (374773853055836148112310751000a^{2} + 547018439001493530388613915112a + 445227527563702406592923421340 )x^{28} + (-600609908643718472506657416632a^{2} - 532842113880920296286678423024a + 245425193177633922176685804168 )x^{27} + (197446579487457252688497343032a^{2} - 64865902070714909888336596052a + 430764367328840159054758782240 )x^{26} + (-279322037565301126181649171792a^{2} + 40677791830925220881646236600a - 280465411338051012396595661944 )x^{25} + (-221417354275305415222031249408a^{2} - 375039696432017777858061684116a - 54721462567262001458338961728 )x^{24} + (606888353721827363885407514480a^{2} + 387271286000451597086441635372a + 70213305955335428940685428052 )x^{23} + (316538225142113019934994475144a^{2} + 303800418905693674223383914268a - 602685322814704546663756666308 )x^{22} + (481765360956078745902588051228a^{2} + 184804378535744358595841801148a - 485959458936493862831072569844 )x^{21} + (256545739926624603673358646864a^{2} - 291827574420544818354252849368a + 80237110232651010193376701440 )x^{20} + (401995148260731310108015850264a^{2} - 551152291079714161430917428008a + 23317462340475803712936801032 )x^{19} + (-176048195744307901009590029392a^{2} + 618017641711670380216458808752a - 130861519015974973345334961788 )x^{18} + (572614848435419113138374245712a^{2} + 187396940741348584714844265360a - 313254823231320128880233776096 )x^{17} + (258031241835624192248358768888a^{2} + 545295577577636959274714935928a - 392345705767934233602907287472 )x^{16} + (-321924235841776321529210974744a^{2} - 481914029565993876961570544176a - 373808006964728795219434441688 )x^{15} + (-568535956232200118215187137416a^{2} + 445243507009346249438659756352a + 167126182669609615405517178040 )x^{14} + (163276184018914253969263465632a^{2} - 300641350629136548410840417608a - 103617517810204142878775205536 )x^{13} + (221475916426364876667068953300a^{2} + 326988439703241239629121970736a + 569396808810886527067102574556 )x^{12} + (308349462201280156706660170216a^{2} + 266163677759634875830959375744a + 211108053690144214579189149760 )x^{11} + (138368372623280524071024986392a^{2} + 363020107227622727195249909088a + 368957478432450388963794867712 )x^{10} + (-78639352748052398989034809408a^{2} - 463343701226622616814830987256a - 322262125201052988684345930176 )x^{9} + (113072687520267232211503533032a^{2} + 324705890579681357897597650944a + 141944833232513461037425701832 )x^{8} + (173313280685743427301547448296a^{2} + 59090778624104563545912375720a - 187813800184707850624372795264 )x^{7} + (391977727235949955246787956368a^{2} + 131870013908210531577031043984a + 523598646834831903223596719752 )x^{6} + (-394035803599469762780833122544a^{2} - 612227182681525181036951117488a - 116120036943503236249305947144 )x^{5} + (-478886227537226490067803163520a^{2} - 548892812651324665746517286960a + 474322870286954668348242766488 )x^{4} + (-301135948542929293731744105136a^{2} + 407105965141882453251596246216a - 519627240959780403268550762512 )x^{3} + (498449018361266760217455942688a^{2} - 335565206837997770725042191144a + 406422466418602352262920348584 )x^{2} + (179330011375209804214907335840a^{2} - 33645553739781019933302772976a - 346829503251803692629095876960 )x + 529402860079956679010912579612a^{2} + 475247389362867175428901780052a - 384939324358327989028816022464 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary