← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.32768_401408_434176.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-262045740601276729981652077848a^{2} + 74417292955710683447526965782a - 522408680419411849759987295952 )x^{47} + (554932341409758878083215460198a^{2} - 631424271455485230483251092976a + 366612172932436917865970008074 )x^{46} + (-388386704326729921175859595956a^{2} - 511338111038704749864639240562a - 212188316814116908468330561264 )x^{45} + (317701685820922543866865664468a^{2} - 37166484460547940690727860572a + 444781046778045509348175715908 )x^{44} + (-578855979719621899410210019396a^{2} - 577879393211340246024470778580a - 465453850024600460949611128804 )x^{43} + (467391006438943937323101988834a^{2} + 114600167695312302552827550760a - 117775280198735094038514851330 )x^{42} + (346501619863935510502925685540a^{2} - 103474892506618468412295590504a - 348360005079489357046173651384 )x^{41} + (463544733481298357654454604772a^{2} - 593467623344375999114763592872a - 516738010778594182746403790720 )x^{40} + (-521946213879489001844321632388a^{2} - 614348149634800670324739162996a + 468667883841214264387849092880 )x^{39} + (312326437063731181573416369108a^{2} - 137449505851406205592842227352a + 449417332932029748507370796596 )x^{38} + (-461655538529354820119627262180a^{2} + 277965499067760041726364501328a - 60730278828577047845269145044 )x^{37} + (143252169770058724036915413512a^{2} + 409485115523509911503773844420a + 389694391009343959878552042640 )x^{36} + (572701961983472580084152983864a^{2} - 466853578143969037206618190996a - 309728545618071738840324132340 )x^{35} + (446918200887201919571752529248a^{2} - 400652388988661890309991536020a - 11496834639426522044298849108 )x^{34} + (463894064693619016708765599508a^{2} + 573206233707826086539721862116a + 112310951817537584676725715768 )x^{33} + (370315479808880177576456260240a^{2} - 440548700017188717736236952872a + 253777796082033061086162881044 )x^{32} + (-140394283816195643055740408952a^{2} - 109140399994989807486802237800a + 511511927967721191790318534892 )x^{31} + (532890974426638960375232282504a^{2} - 250411602369983727714633729364a + 172054972545207297696973832304 )x^{30} + (78190349190872924962037470028a^{2} - 573001509507379346337004896048a - 216991369151342376350844008596 )x^{29} + (-408257490143706647896730639188a^{2} + 520153046236694064677014551748a - 61894794774065320301548791224 )x^{28} + (-371906952256350459595919663112a^{2} - 127717960508894296131029250496a + 486985622018369739609350134088 )x^{27} + (-220500368421355969852948113756a^{2} - 256225866558885681276097605432a + 538216126070787437230266657000 )x^{26} + (476889177752031450150846199144a^{2} + 596947515721682870629949072056a + 303476725835644044426557170784 )x^{25} + (-409938989019295305348641314376a^{2} - 256510761889425270376115762204a - 327254179057349554372920728548 )x^{24} + (-415345701873641395239211876000a^{2} - 80164488931834174123538917328a - 367484926110203633941463811724 )x^{23} + (-453926641261138226268633329228a^{2} - 624093611400677183231889874076a - 383099294147603258575081794268 )x^{22} + (344625935820154912224977933112a^{2} + 633689005496673077029395101472a - 460996920628510569608416795716 )x^{21} + (57806667562818974788105603224a^{2} + 553659028170267734586881280016a + 231659503637834121499117851032 )x^{20} + (618806008811141368747198333512a^{2} - 160999498941272590177953883032a - 595521891283373645333739446608 )x^{19} + (264514164613719991977990792532a^{2} + 626998338233500724011323128060a + 36204001967015656597579438884 )x^{18} + (188826599761322160053654212976a^{2} + 112617010898855665046652263536a - 291114188610657859281609827416 )x^{17} + (-328552230801254899734556450752a^{2} - 326184377780470410892269045920a + 616466283913243146674703179208 )x^{16} + (-270854159645737935161734336440a^{2} - 626661532578398246235146775888a - 105165642751390598008004580768 )x^{15} + (-435867858011840558207985560416a^{2} - 354054266889666753934845613024a - 600755222179947045397330883976 )x^{14} + (421123943799823045545983224728a^{2} - 276959312989506772413935694024a + 17267790208354536163987156488 )x^{13} + (275876746446753564661714506276a^{2} - 568147220345791681856484554596a - 188465998753444841302356358668 )x^{12} + (-492245089866261717639935259568a^{2} - 247603180098752487796231176656a + 45378485882630161019460702312 )x^{11} + (543736528587059751403388236448a^{2} + 465845314236335564955581819400a - 413670341732119682567445147952 )x^{10} + (155373115598979249713639395544a^{2} + 338487436267016581407444201472a + 24955033011294597755223751344 )x^{9} + (153111871981722758903906656744a^{2} + 320340735504007821026282967208a + 495183112476134421910053247480 )x^{8} + (-173337520288581215495889977800a^{2} + 168867688717143396381413554960a - 142085736497065332073339820184 )x^{7} + (553969646901970665144984164384a^{2} + 501025767374031192759066091456a - 523363317627815779211890182408 )x^{6} + (577856620340864532392125798992a^{2} + 232359554214250455164558734280a + 424342036361585723801255524416 )x^{5} + (-505354674046816805446603579592a^{2} - 12438079201286612619850355040a + 302478411816877532191622367816 )x^{4} + (248542077269575924057270788264a^{2} + 518211734587962650075219133392a + 60389902943521842906019276632 )x^{3} + (-81527461920945740121048053888a^{2} + 225641425930918946069334208360a + 160851532380377070403039530832 )x^{2} + (482974969121148091579195558544a^{2} - 8625113560211201200856792688a - 463034572232993512333610048624 )x + 60401169308114622706792614836a^{2} - 230242190121583641618862665988a - 251465610236850734049237320580 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary