← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.32768_401408_434176.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-243557204771613210775529411344a^{2} + 196742813658124157778812411086a + 439896221076455312581038364760 )x^{47} + (435521908661069748466162005840a^{2} + 93915100489073083555670304896a + 624469671848201780298095508918 )x^{46} + (-107776405333543610801953560758a^{2} + 288459777235208559253860525024a - 243771149511768740581576069064 )x^{45} + (296096761500599654598031764920a^{2} + 33127108352848204265969175012a + 436517386467442699093851245832 )x^{44} + (572193730225193327974337707728a^{2} - 55819364287553457101495454332a - 178696219005313450875375346644 )x^{43} + (572625491875310984134616742962a^{2} + 367074705087066848773715578708a - 224080606201133102781777743792 )x^{42} + (-60312690523069390181185953232a^{2} + 292501783450226692053840796092a - 292285138461571971015431093428 )x^{41} + (-242986172329085326968115317588a^{2} - 164750084882200752489884154456a - 74792260809427640032705565856 )x^{40} + (-401366667645506370232156882400a^{2} - 543618138111844174895555468328a + 397406385666349038674356367864 )x^{39} + (-461346886753311379325949072012a^{2} - 518984152117428230069662761164a - 632843356799004658943439146152 )x^{38} + (-539174263907659114956609126956a^{2} + 80364992248383245873259960408a - 527894136711137076511611184624 )x^{37} + (-578653896932570452258834198392a^{2} - 139709515498377407834817178788a - 217225963884013158100296581056 )x^{36} + (-184780629811168075532437695552a^{2} - 599021646572504805571215017496a + 168048671006552814548785147080 )x^{35} + (-272019987706000597657099047412a^{2} + 348390771143627805455436323128a - 425787853578343745600612635884 )x^{34} + (-546579507567201685987153245244a^{2} - 120749950460360586274051730148a - 568457729458852642408736279464 )x^{33} + (559562199381803418082265819804a^{2} + 191858782981480258888695611048a + 611988503379492326498972507312 )x^{32} + (-114064109303858867810448296888a^{2} - 343178173561419416936361186812a + 254730938571505816230206572072 )x^{31} + (65023617508611189164008890520a^{2} + 134285316965763378982955822500a + 222161802744318308832733157764 )x^{30} + (273769894726435137506224711628a^{2} - 237916640622251957514105740632a - 9769777705315795157681242364 )x^{29} + (-365206072354388279765678106604a^{2} + 580709425726443606259440278420a + 477334492196621990073649797868 )x^{28} + (326198102330852188341055510080a^{2} - 30532160187685460540134679672a + 46248203109404018118294476656 )x^{27} + (23850900476218698764995948636a^{2} - 106352181754567507163819811868a + 516960051312455359489879345324 )x^{26} + (249376299058116845856698014312a^{2} + 94760540152332051277489618400a + 28856337521731548889539802176 )x^{25} + (-150585975041949881797247614140a^{2} - 212035312561297347379903329684a - 448618913129957270724154182308 )x^{24} + (67353706232487351023665789468a^{2} - 603639054591209063112790236268a + 388370136754093588520133200556 )x^{23} + (-601848252397454437584804565356a^{2} + 49474557351559639883443992884a - 550819056259470807016611834904 )x^{22} + (532792301882986537283128991940a^{2} + 579341538469905940995292798016a - 267022862769835456830545821676 )x^{21} + (466719331489868698388072811824a^{2} - 36783035213047971663426191904a + 20026137094334717852000535880 )x^{20} + (-27949391014743244358607517584a^{2} + 600796560980271260612847116384a - 437231717770728806258908296280 )x^{19} + (484237277799668556529209099780a^{2} - 468849355414376505988588294040a - 470657877995905320193402700076 )x^{18} + (50173861584842885288998985896a^{2} + 240718511426101458676439147736a + 516583109255320692599484840488 )x^{17} + (-447656825632569914507753472504a^{2} - 111758057824465622442726273432a + 526570629684058030679861832288 )x^{16} + (314895835468028579145190087016a^{2} + 62583746608630772926195427800a - 456392889584935909019250848320 )x^{15} + (-108143366596113269867981314000a^{2} - 143223896255857901286459173640a - 265663422282718467216259601080 )x^{14} + (-565007716282803698758042518648a^{2} - 96687493132588430705016971888a - 287357934092652832092911893912 )x^{13} + (324473698641877501836532061260a^{2} - 155199119339822864539749314640a + 389311617928012041777782401864 )x^{12} + (-50012606544000042152770964864a^{2} - 323933304655470290217260577368a + 38322467794247733712314352472 )x^{11} + (-192772587945154729634060701976a^{2} + 301257281738675345238866040888a - 527735459763238149592062014904 )x^{10} + (-262648081736873323102341975504a^{2} - 277354165755446585553332813024a + 542385350985252766671211338416 )x^{9} + (-205646112056486427976656541488a^{2} + 574269687731354493918238333216a - 562990429482041153781250163008 )x^{8} + (-103152624483868222274385586552a^{2} + 404736808685083480519724098760a - 156956015590878503673355581128 )x^{7} + (-393951438726383144800099406272a^{2} + 154262201706357304384135750288a + 370385043826248088697431327752 )x^{6} + (-446390271554317213569082986472a^{2} + 558206340227457522955957429080a + 211667303514054198174358785216 )x^{5} + (-244555201096256404903796109648a^{2} + 41967685207411245106032049432a + 419168665085136199572667738168 )x^{4} + (219479466183341797280500028272a^{2} + 36330923339543986076577341296a + 463441238318568456223233415224 )x^{3} + (388130178744618714620452378616a^{2} - 106696792221092652733803961168a + 2002697146169361322323230800 )x^{2} + (454885069123677420483049822432a^{2} + 43673515393401028164057995056a + 68550003671645530231635366768 )x - 499511363171082583734182266728a^{2} - 588044957039737634956389079532a - 558502819589779717188329822032 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary