← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.32768_401408_434176.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (184114014663162502711433578624a^{2} - 108602885074238081376865133578a - 418571695546661894634824517152 )x^{47} + (-625777488028617481688485902506a^{2} - 447710134756416250784265224078a + 145120384958313090845087269072 )x^{46} + (-196223689973162731687424939786a^{2} - 125050185472327876282672310308a + 66526617077821351576575506374 )x^{45} + (-295060522876191867220071661276a^{2} + 603379852811533996201282011092a + 352408012657753137423244796208 )x^{44} + (-215938456283479257085590137292a^{2} + 251809521470885710876039065460a - 81404349356432513465664392612 )x^{43} + (-9733689986120307720774335236a^{2} - 236791629819918795526877486348a + 65846474655096288572166496622 )x^{42} + (-558997522239116189407372448212a^{2} + 492984809041279446678587682328a + 51339043616483183293703534744 )x^{41} + (-568536769226489911581740089996a^{2} - 157638896643333716931717063248a - 69980024652242481200026389072 )x^{40} + (24722475762360436616218910984a^{2} + 364713388369744546780870224540a - 450539018206206111435542525256 )x^{39} + (67922867853784156312986257880a^{2} - 49173170803205415175642545252a - 508920701240889071250688274964 )x^{38} + (-9205369471985872802050062236a^{2} - 102012725079006941506078707788a - 377710493575620843789519573412 )x^{37} + (-40141519318179371953314206060a^{2} + 172976361630886451256835750368a - 72819276454715182645250150508 )x^{36} + (411174241033112299191739286680a^{2} + 41023146037342442772959932892a + 457145139370625191319229547116 )x^{35} + (437525204597151115737994442760a^{2} + 266942919672216215761906459624a + 466484225533784192710308056788 )x^{34} + (328047973959974844517945431864a^{2} - 75944948208426528783953533824a + 450399800487046856608362382104 )x^{33} + (-289506691334391755504839482356a^{2} - 267905004529809465139017482504a + 15250099400346061185275714144 )x^{32} + (391999203976541711687127813828a^{2} - 392822653440989303608519119260a + 336212507518638768155954254260 )x^{31} + (476884918475433886193569002676a^{2} + 628961690759404217132656155228a - 428724070587457537437461771920 )x^{30} + (393971900169244651039178843476a^{2} - 317625956255903289904397382484a - 549273751184829760912462226528 )x^{29} + (387225013616772652884638979776a^{2} + 165874368917439795121659831856a - 487421695510157157605469616188 )x^{28} + (-67061856637571540832795911368a^{2} - 39216682622231146605714476088a - 633332977710450608474948097256 )x^{27} + (18530762657183570500328576616a^{2} + 568526161650076556243278256396a - 220837784526018277486780140780 )x^{26} + (-93301560054573796126550552656a^{2} - 134662504601795519370047246872a + 428833662811865901437043361568 )x^{25} + (300140535404138860966400640416a^{2} - 94191426006554462583219542528a - 360464674153850814592077772520 )x^{24} + (162640887666100533685295405292a^{2} + 132490586263506154317869567324a - 209884170236607701025597742488 )x^{23} + (-235554961186072059920521445360a^{2} + 479812180700306142802071629792a - 277075228962168166395443185372 )x^{22} + (-217314694285053298122261507892a^{2} - 31147333762743492612423334936a - 459172345080745748349164467336 )x^{21} + (545482279222073194891804608744a^{2} + 473165375161405896633878209712a - 103238373107763887841139184024 )x^{20} + (-300757788274552090795773698256a^{2} - 176371892665595598095269129288a + 856402627228342835043880848 )x^{19} + (-413186736876403491553215470664a^{2} + 106591188413145907250930142716a - 303725186227115503500091427700 )x^{18} + (260929863931633492226872673160a^{2} - 310661727932048735437925869528a - 474377850633331351981463863704 )x^{17} + (471594586578853170764343350312a^{2} + 452271469930309523588962939120a + 57543896789385857148805822280 )x^{16} + (378596737948428464334409688776a^{2} - 338611242914216853646118514472a + 626620859808192242395286056552 )x^{15} + (83341755752622653208680623488a^{2} - 71964467283303893588316153624a - 13828044905739789825891491200 )x^{14} + (-382786675442341101637776151824a^{2} + 262330098296857898552968052552a - 414974703942257153348213114512 )x^{13} + (37516689570849658776814560404a^{2} - 209036903965679566329954441484a + 605933045745608673097482070968 )x^{12} + (619519704841152668086154344080a^{2} - 529053814029203109099597732024a - 104151291449973898343913751392 )x^{11} + (-610796367725720199312849108912a^{2} + 404617875283889508777580691408a - 10052884909489556361488301448 )x^{10} + (588176035746634264225374763176a^{2} - 295259107299235062948545352568a - 518649722068923475240937497584 )x^{9} + (-350366435372355216468285043792a^{2} + 586100904307086221223915623952a - 388466904492206724580381742864 )x^{8} + (589078156451383019826288304000a^{2} - 357637375495377967880156372232a + 219325261440523997684923564192 )x^{7} + (-217863899325031525027899210016a^{2} + 618288359763182462626771433008a - 420344572112181576725435700968 )x^{6} + (307612707971917466490296248568a^{2} + 93444099603620691846209385568a + 396765104310904255311740083008 )x^{5} + (-566188714167465481737749757240a^{2} - 247071584646881020074497071304a - 113892146017425639766560171720 )x^{4} + (105575946456371734550006551720a^{2} + 392462741870331987068511167240a - 513439438065067364421766361600 )x^{3} + (478753411965010422991517889656a^{2} + 198411428203384144662022996144a + 434371143366142820689820299256 )x^{2} + (333972033413516240007254722352a^{2} - 342536300067084562593986137520a - 323533919839297883817139216256 )x + 469872318345214793508350763764a^{2} - 127777288503373585826432414368a - 179029389945279446657780191796 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary