← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.32768_401408_434176.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (43299958131085509174025466816a^{2} + 92905828785374202653649632286a - 94737460984636136273024305984 )x^{47} + (-521317507021376993474859728430a^{2} - 517848531174329571167008576336a - 571107892346837776342529937400 )x^{46} + (-198019392619321813976801205774a^{2} + 387308187585675985700155173982a - 88017682903142344778749639600 )x^{45} + (-533871948237533794719026748016a^{2} + 190906750102761520260446911028a - 269748499472766744911112741012 )x^{44} + (335173777436687122454130785412a^{2} - 398711315812078822133337720a + 230484109778994250062973199104 )x^{43} + (-45155366522083518166963338848a^{2} - 356514970867726907211644073382a - 426788657506462403662582851036 )x^{42} + (-426580091379333949165868907296a^{2} - 30587486453859418692156446540a + 387760444442685540499095320452 )x^{41} + (-395588284049593996302316940228a^{2} + 475958089007696253072302217516a - 71780380890473741189532876132 )x^{40} + (580085827472209693273680243012a^{2} - 34331823781457959248101940956a + 143868046330820116933984338232 )x^{39} + (400727573479054250665973992040a^{2} + 340850056747607765168159279768a + 258743248536083561555824473900 )x^{38} + (-260797032014553364027092159092a^{2} - 203860576900561132638537186408a - 232266734619966409186102117996 )x^{37} + (204492097076873223712198342492a^{2} + 10013714919351623283123626040a + 363828684080679430360296396632 )x^{36} + (-411281328697606201537208734612a^{2} + 334420444163982851261684735480a - 331744171881955054323579026020 )x^{35} + (227092652274310091024951784344a^{2} + 302042126011217774142908735844a - 341968398438771205945152081920 )x^{34} + (193368061329159086402833422168a^{2} + 246762330396679360210740570748a + 527229930293552692724535836524 )x^{33} + (-213744636231833729300563373644a^{2} - 194767626575260112195357041380a + 37241088364294241064827088052 )x^{32} + (297474829583160809059871129520a^{2} + 361677601018168626886957578180a - 42238409414208054827195175764 )x^{31} + (-559913355284072599851380991640a^{2} + 244305060712932726421250508744a + 263782165776402411468929883476 )x^{30} + (-377191324136241411246804887028a^{2} + 8725445850307453282347572412a + 248523808616278250383801359272 )x^{29} + (310427683230148229558401015844a^{2} - 193923319436120030644021226572a - 132867837173185480977267961924 )x^{28} + (456246343107030347016905132408a^{2} - 628927527857274885084090805168a + 283405704001649384492949722360 )x^{27} + (480479430994375100417178266020a^{2} + 381861247100930848179611892308a - 502271189104968579267298331320 )x^{26} + (196263192948745174686229007432a^{2} - 437103334270557240292652340416a - 538068186131058269795705561112 )x^{25} + (-148213707840886981174244249180a^{2} + 36717624449061005570001726236a - 77852312401101774463451226124 )x^{24} + (299351479928411633324484239504a^{2} + 347734029298858339560878771180a - 361405948803436713541173413896 )x^{23} + (-360021009719898956913332867644a^{2} - 282643281998654857117573691992a + 420444013110912821438804581208 )x^{22} + (-496753843238573655221715448228a^{2} + 82637526898634707361699860436a + 386161130816472268950549883320 )x^{21} + (26843938347269499676580914360a^{2} - 192750449989437801816224251056a - 95264677158371439903647767480 )x^{20} + (416649367282461067228639279928a^{2} + 385347355724528028301973364928a + 328925220466308097947797517664 )x^{19} + (343484725867371613777964134976a^{2} - 155503938841437498315233968764a + 302716994468507742465557574456 )x^{18} + (217785864183696962836167865592a^{2} - 356736157393783834346184115536a + 529706448387597851376604474256 )x^{17} + (-447203238044025062545394228264a^{2} - 149422344895960495546972493424a + 289960814946943991114379093080 )x^{16} + (150622024495028570737505378000a^{2} - 302072641202354329398342665944a - 515510459447328824700417408544 )x^{15} + (476136983460767530914992787496a^{2} - 18306878517002024648945528384a + 446955503207818834798753102272 )x^{14} + (-112548333881987631692465083912a^{2} - 100270725221753437084922993200a - 56219794676829466621814011320 )x^{13} + (-504951631015954052803949645760a^{2} + 411344647760100918368702313428a + 486434743160819630015865040044 )x^{12} + (405617747656916976732043826560a^{2} + 84649103209936033293683383480a + 554720170941059672368970714440 )x^{11} + (596614697309689903564551004872a^{2} + 571591054545856565514794785072a - 444297809429224878925874629976 )x^{10} + (-19871906130525389467408824616a^{2} - 171881745222234423679338199648a + 291576328313822544961411569984 )x^{9} + (-197111649002270326450152984992a^{2} + 501312268900487131345693934376a - 519164935816815083973389344168 )x^{8} + (-477779287158288302275925552144a^{2} + 175696218996157864324503351080a - 71638426970189039191264533448 )x^{7} + (-407619049003694889670242165600a^{2} - 222551844410914059130994185744a - 280923581887334404610117066584 )x^{6} + (115222729302738025695368816656a^{2} - 547365949699966037994866086760a + 110009126289241863365580739848 )x^{5} + (-383692525370281767480037067816a^{2} - 398574773606071974665923350904a - 96972051345362608790178715888 )x^{4} + (403438024381680744906704693736a^{2} - 549781700230321368664888486144a + 174022026444334111122457943312 )x^{3} + (283775642795678676707215628136a^{2} + 348358270270244171491862744280a - 55221407246209491356812111744 )x^{2} + (571913392332423835963427475568a^{2} + 111429401571440260125469925376a - 363059152828782986281173756608 )x + 519228894302909959849425461240a^{2} + 368253510425886227410484798728a + 445733347919686474717362987980 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary