← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.32768_401408_434176.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (470971177565861222660988456784a^{2} - 212439869946988036502027912378a + 314445222620476058007816017480 )x^{47} + (-594115748640031151900149377612a^{2} - 543967155309381793782424213142a - 3168671848062520430791745366 )x^{46} + (-165452177535431825886148451182a^{2} - 450113877737342459791183941782a - 412368613982481754914391181790 )x^{45} + (77855380311782316164616914164a^{2} + 592561009778234326286832044092a - 596240992951264128743119508544 )x^{44} + (462211763174467589824245813816a^{2} + 578366922539086879123670457440a + 108106338168241419941441379128 )x^{43} + (574315084034500656709693096754a^{2} - 510262875678486962268006593214a - 95984086956473538492680148864 )x^{42} + (-80100069186301697433174360692a^{2} + 84311747463821786791095593012a - 24888526239962684114091594848 )x^{41} + (-24962766693089609521326905400a^{2} - 297846162780978010683575940284a + 166494273199747068076568492712 )x^{40} + (-170445907316234376488415248500a^{2} + 477286470258778485468642266056a + 441523435614262466280687131104 )x^{39} + (-20743871567792227778547633612a^{2} + 110961423709700579509760181260a + 443867347091827709379081351204 )x^{38} + (-566337613543135488450542155936a^{2} - 447341658304872096029073632608a + 360051378400155034932081855336 )x^{37} + (-395680313252447283510309215416a^{2} - 464144729527873305883825542248a + 230845147176320693570791649928 )x^{36} + (-83574098481937909171550774412a^{2} - 491322481359467519891645140744a - 476728691943146490106757498468 )x^{35} + (-520558927576811242697493325688a^{2} + 257558620249228216003621413800a - 510427708689564379298587232104 )x^{34} + (500913042809870010843019402416a^{2} - 45908493386939573425199667756a - 31564439800840594132992226716 )x^{33} + (-397127780563818975248406169600a^{2} + 146042850788325628015329433384a - 272285714063809568832111503432 )x^{32} + (-382564617285425013828155835508a^{2} + 627493273849355290565762435212a - 74457350893052364465784640872 )x^{31} + (-393653158653280716355188807484a^{2} + 73829544501846731137635445736a + 492525071820915436821875458288 )x^{30} + (549148547830132792487495289632a^{2} + 62793441884153901026954057200a + 586321900197538353505194681360 )x^{29} + (436421699685408442534891451352a^{2} - 496674859163935044645379238184a + 81521189491003083588144407792 )x^{28} + (550530618294737523359851411736a^{2} + 496763851729913629038669112048a + 322702144319361790110083157568 )x^{27} + (-343169154402545760258050125408a^{2} - 569690627370397739146748700360a + 261482731890282211126337262396 )x^{26} + (234280801507129031407528972896a^{2} - 306319947180220297484439155064a + 368109831364945943293413336464 )x^{25} + (585909593874849383820905461788a^{2} - 197156163874292131479774999428a + 325650329450831977215041067132 )x^{24} + (-395589805907543787264582242732a^{2} + 131818689945808779414935597240a - 159414221827027019619365888036 )x^{23} + (-410069766102857330601689566176a^{2} + 45201917004328294548134075228a - 618541854045157784611296596264 )x^{22} + (127712287919374803995251878544a^{2} - 243783197752020529681211942164a + 264996627575110707762004718100 )x^{21} + (296354213894640473016933782952a^{2} + 479691525556713392996870900976a + 301692415489168019482268717832 )x^{20} + (-490268478734110676501357857040a^{2} + 482944927742148134788425720912a + 496291397661638182711566825824 )x^{19} + (-21478467654861746359790946444a^{2} - 363343337657561308933228400208a + 351293798729648669646333640768 )x^{18} + (200253614611799670256195136560a^{2} + 629305772020515534287369279488a - 520517003636415611871503219240 )x^{17} + (218079070910604207719630427080a^{2} - 275807035712984127649828690128a - 613435888138872161095533738072 )x^{16} + (627404944875159373836550106080a^{2} + 385640970289170955053254744392a + 558159193144373550858476074808 )x^{15} + (528491809165686494644395516888a^{2} + 465564483904085274337634188936a + 48971234651796514200730771704 )x^{14} + (-436290798048316330108236938656a^{2} - 229872884388882959292855888880a - 261447114646099046500006482608 )x^{13} + (298226643113278091409924034208a^{2} + 280650690308960334028901454304a + 559240911409769705379667624436 )x^{12} + (-148316229748743618354160519528a^{2} - 595963160202610165344871997392a - 402121411085852694375821862144 )x^{11} + (-37436884852004538579488001120a^{2} - 501033248899581488305796934680a - 506433906878900560366053768472 )x^{10} + (179208683434446245451334208864a^{2} + 285811302418666974980732169400a - 619744926304957164967317209488 )x^{9} + (225622253431918437525334995072a^{2} + 604479795867499631288699775696a - 300964576798394667361604703768 )x^{8} + (295644976177580941446567806344a^{2} + 164875901883219243229915920080a + 219851531257355849445934922976 )x^{7} + (350310326851212401421145849248a^{2} + 169350152990626619091514699696a + 426182047465028577096439861480 )x^{6} + (-612923948250716039349519019512a^{2} - 366730107131135370088070228448a - 193866972944106214672761108312 )x^{5} + (23529880444957953439604383440a^{2} - 452730955785551440579639490408a + 97565689799822808725173135024 )x^{4} + (-459608605685404392744818875296a^{2} + 447005490558998801093800403080a - 58282816225805429774492984904 )x^{3} + (319792712087731401347870981688a^{2} + 354243647066770775197822376744a + 582358736148268904276258008696 )x^{2} + (-195980375801827240122037964416a^{2} - 88907701093712405076846508416a + 494101342917387635600796905424 )x + 465678374886019242795254218896a^{2} + 115992327873348241511143448188a + 472455508777795889016721046268 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary