← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.32768_401408_434176.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((130955575221216000924556563301a^{2} - 138925132534943820527730485551a + 70809994995058220924726769328)\mu_3 + (88993758761056764923222657896a^{2} + 128383534915449785187173003685a - 65477787610608000462278281651))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} - 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - a + 4))b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 3))b + (3a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + a^{2} + 2a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((2a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2})b + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((2a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - a^{2} + a + 4)b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 + 2a)\cdot b + (-2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-3a\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 4))b^{2} + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((a^{2} + a)\mu_3 + (4a^{2} + 2))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 3))b^{2} + ((-a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b + ((3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1)))c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a - 3)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 - a^{2} - 2a + 1)b + (-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3)b + ((-2a^{2} + a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 4a^{2} - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left(((a^{2} + a)\mu_3 + a^{2})c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3b^{2} + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (2\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b^{2} + 4a\cdot \mu_3)c + ((-3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a)\cdot b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 2)b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 + (2a + 4))b + ((2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} - 2a - 1))b + (-a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2))b - 2\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)c + ((-3a^{2} + a)\mu_3 + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + a - 2))b + (4a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((-2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - a^{2} + 3a - 1)b^{2} + (3a^{2}\mu_3 + (4a - 2))b + (a^{2} + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 3))b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + 2a^{2}))c + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + (3a - 3)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b^{2} + ((3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 4a - 1)b + ((4a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 2a - 3)))c + ((-a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3))b^{2} + ((4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} - 2a - 2))b + (2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a - 3)b + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((-2a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3))b + (2a^{2} + a + 4)\mu_3 + 4a^{2} + a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b + ((4a + 2)\mu_3 + 4a))\cdot c + ((-a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} + 3a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a)\cdot b + (a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 2)b + ((4a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4))c + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 4))b + (-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + 4a^{2} - 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 4))b + ((2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - a + 4)))c + ((-3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2)b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 2))b + (4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (489459713395524741867111123288a^{2} - 90114349244574562170742467074a + 9099523888113818852138472816 )x^{47} + (-295959195382638638819343469094a^{2} + 513652125904136919357593520574a - 71236704265147176780644935938 )x^{46} + (605686938036740282065533800152a^{2} + 20707973451268738346022077104a - 134307403897170619035296113106 )x^{45} + (-445350686732403538715787517592a^{2} - 266672228547231548187533993572a - 45022166759363398875363404592 )x^{44} + (200553955318472909282474816532a^{2} + 325905620095506396975154197936a + 176904602340430884077075301712 )x^{43} + (96865782871381053683623354244a^{2} + 30404367429865608174651387450a + 291158026674566724566260474202 )x^{42} + (415793709887256237615176359132a^{2} + 561050500275073323224744229796a - 555162861676971748702961779992 )x^{41} + (174262706914840500932847644768a^{2} + 327837449775634673906424893416a + 625714524186102482010506908764 )x^{40} + (-483887344531365607635081727688a^{2} + 241429751253875738103485008260a + 504658733559331944654214432208 )x^{39} + (432222991628971184559064825560a^{2} + 567919746987989940398166507252a + 291103038105744197663268637200 )x^{38} + (73760633866277986475671657660a^{2} - 203026452222066052352572455044a + 533792057534983295001705281832 )x^{37} + (296687385587853965739802051008a^{2} - 421143005434578583294285088688a + 405052791480548007743531403260 )x^{36} + (609055299982817593642417015964a^{2} + 455532614547944820394485766676a - 210840518343707875389812369968 )x^{35} + (-113466613692723021117198055804a^{2} - 541330407114746219843344480016a + 128398493953593877731497388824 )x^{34} + (14108265262943650038039474052a^{2} + 88899677363392019481758877380a + 563685945556174721254610254492 )x^{33} + (107800270440216689928480836996a^{2} - 524902739664947577437796329936a + 292147905066752547688009566448 )x^{32} + (614410168020779659854250993988a^{2} - 69670656283492283028201946560a + 212658053184267528589786496540 )x^{31} + (-629592541500323593291891662236a^{2} - 518311885082489319677505077960a + 97601917110575892604675531924 )x^{30} + (-102817855361985935471716560128a^{2} - 623089085951244843392455843496a - 121079052886840225710103304796 )x^{29} + (-350740576499088125450755497244a^{2} - 391820271552589771023572648940a - 15271648255492073351095263224 )x^{28} + (-395382275434924965098982782632a^{2} + 37459104623543139671255058104a + 283843176916436779301591183328 )x^{27} + (532391022405932639752415803004a^{2} + 86903807933361943271007925168a + 558376639377849800930576653476 )x^{26} + (91920413713628314001581869288a^{2} - 4774714232984417788581288040a - 539449039730605263020666310032 )x^{25} + (-35821693369545587310111177596a^{2} + 132618986163020884686486266444a - 109207579778343850014996373120 )x^{24} + (251307651448715596248811701716a^{2} - 348149538705625107881205788336a - 557918837051035303167305314608 )x^{23} + (450294613359560214021027482140a^{2} - 559625991379652473832027098936a - 459745521239291066816301239276 )x^{22} + (331993895908381517145901752832a^{2} + 8610963010601317924283603516a + 542081344694059108636200236688 )x^{21} + (-153247105596951892571748552392a^{2} - 68732177408572780793798029496a - 513439855613553814558174772200 )x^{20} + (-138696204283003851600486261648a^{2} - 44698600873397157278905288552a + 321492873552347469776819495512 )x^{19} + (-27351304117386784047829681828a^{2} - 186846937463674382548705148676a - 42635552446242434551567447776 )x^{18} + (-412482151529291560056615623240a^{2} - 331474164388795920694952478352a - 141593253262984989360516003792 )x^{17} + (415337040987643589655773629544a^{2} - 612742672186830799062724482608a + 622761070380972103243255810016 )x^{16} + (143480927704064475911156909232a^{2} + 225859682084847469775142167904a + 601425990580281296814382449880 )x^{15} + (12123674989763658248797730584a^{2} + 151153236044117044480498645416a + 411543120179202787619758025056 )x^{14} + (519301522389727519050675090792a^{2} + 237444466358226117289725498216a + 348115246840769809885607792440 )x^{13} + (222724757225876755938548566656a^{2} + 628663883595102555674548036604a - 277527015853705905385661510768 )x^{12} + (-179402791729756336983295461280a^{2} - 477574137671754982635341344072a + 619299145274106321888913337848 )x^{11} + (335752525279608480309986009128a^{2} - 377981045658897523941621492552a - 431855369102530681171254099408 )x^{10} + (145461230206868912026087665416a^{2} - 18235019344732430791456188024a - 574629598819596935143552471456 )x^{9} + (-460111770857291352630835250624a^{2} - 43779409413432919827182994592a - 367704408460497243428303584480 )x^{8} + (-358904890956326430413749930688a^{2} - 102986513454765615294861320976a + 116582375026966661266318133576 )x^{7} + (375757104202957390511715595744a^{2} + 646913712803092500436719088a + 260886298528000467368223122984 )x^{6} + (613196935516941268165724548680a^{2} + 263167526220390733362309107912a - 359170727851222630955433202968 )x^{5} + (619837435462087460490369408312a^{2} - 293191292466738309966090410832a - 629128608374298636897303502384 )x^{4} + (-151168746002396558211753130248a^{2} + 607442513681844213684788392856a - 205530838310247152003467252248 )x^{3} + (-585165225710710245804300311120a^{2} + 273237053229657917705247780928a + 235251749055701847541488772872 )x^{2} + (-542759392508995957243521664240a^{2} - 254346183367264482491992980992a + 268847322557267027173524889392 )x - 352557569737166232382668135364a^{2} + 409533258300578998690802074680a - 382465003471753473626363244192 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary