← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.24576_466944_475136.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (383251477949593524486607667904a^{2} + 394422157305716894396114321600a - 158789681386223790254764345732 )x^{47} + (83891520841729703111872120140a^{2} + 410949735038828326979984690140a + 249885476149285957404282877156 )x^{46} + (139383270405404924550653763402a^{2} + 14647819467213880986306699196a - 355567882871356048892865665186 )x^{45} + (136817619796870287993647484872a^{2} - 16965183909153513571178555284a - 517459543633811291709316443128 )x^{44} + (-389085030191140387582349825924a^{2} + 448405664251867467607351985412a + 200084584545130001370231859548 )x^{43} + (619219673689894763707752971480a^{2} - 205366296959129076365711995518a - 621448804874334017079494136592 )x^{42} + (-596457907856740921531508953420a^{2} + 441550371246225738895053627980a + 157741734392266203598607595600 )x^{41} + (95474658132891423931032762332a^{2} + 278881209112478287905722768140a + 534016770239514786666188728144 )x^{40} + (203848845785122247804016368236a^{2} + 108517184464207302207718548772a - 608475931705902862205830706144 )x^{39} + (-435415919958456984668909140208a^{2} + 384813021838646250191543808896a - 378297802499159165820845378204 )x^{38} + (503788174159710177204200032168a^{2} - 595509564950186605972258250880a - 627818966831712080451299977728 )x^{37} + (355452143600927085835929514652a^{2} - 143035442151478213068361974668a - 229024889142075089709607746324 )x^{36} + (61397303800792338479286301836a^{2} - 19122786401509940767097302432a - 332225184624251289330015053492 )x^{35} + (530353045317569922615431602908a^{2} - 460860536250967344856469375112a + 368409933153878134500821189864 )x^{34} + (-221524985817633578342462286400a^{2} - 232595764763739570169271707080a + 597558609734574462154959499972 )x^{33} + (62708192432407252051012929680a^{2} - 433993477747051341103673429996a - 190738472987460417481980531144 )x^{32} + (-99878041111942664199557497656a^{2} + 589953961695415659443626855456a + 19676778507093782262900957000 )x^{31} + (503225761380292133482883531980a^{2} + 222286571189503921463531255892a + 196694359912558021437605026232 )x^{30} + (170243835227584816736330176728a^{2} + 446989987545136277427690711696a - 447997102174211140932681233772 )x^{29} + (322767495892318392683180074612a^{2} - 4309870827221806626347203460a + 72425667971113523192882412836 )x^{28} + (-576035566240259708004529658080a^{2} + 384451766203171184669040114080a - 49799099266407496996106053352 )x^{27} + (418841163602300766426168815028a^{2} - 480626783290556542881129224400a + 477860083717312880079279431256 )x^{26} + (448498779504704665641917432648a^{2} - 399517368070931047596118863064a + 211416346888483874493209239852 )x^{25} + (-423682047585802791238793478172a^{2} + 417369693718164278498604514348a - 319333739778090913652402812980 )x^{24} + (-3855715816903215529957161632a^{2} + 368400375770115455042249422648a - 310811937139940751141778064208 )x^{23} + (-76000942439518785733470097432a^{2} + 8183996675852305015912461752a - 124347699905022096130342303504 )x^{22} + (474207954267691024546253207440a^{2} - 62760038920468736578824811872a + 540477586272332915105552959652 )x^{21} + (-355540940806085159396247535272a^{2} - 134517787622654551398404774672a - 429572609783216997555691249088 )x^{20} + (-423605896148636916989032318264a^{2} - 208906858128841175727268778160a - 160564872685669143991239317504 )x^{19} + (70064340264713483973440299420a^{2} + 399501386527054722535381448544a - 540190731181029734257639442328 )x^{18} + (-314076733696712370978569528112a^{2} - 601635763540526686899210673824a - 150144688128312373044724740952 )x^{17} + (-372386549855565577997571499680a^{2} - 197821092532457716053212306544a - 456087132757859459883969247016 )x^{16} + (582336362508872308316017650328a^{2} - 107534281937319800918248375616a - 249082157462911263791562100224 )x^{15} + (-45135090210336608404280388568a^{2} + 141558303037721336890291931704a - 15983979345393880567035054632 )x^{14} + (363891638382290139721656977528a^{2} + 563065837009850973460705440168a + 227144692759539837154122794920 )x^{13} + (415174314172550607846904617676a^{2} + 180517668011929217567702409032a - 173885262870660157397718048368 )x^{12} + (-167955009005919232843972499328a^{2} - 630074904640519989458421818616a - 250092452963575048689994879208 )x^{11} + (-400402847706529393376283783704a^{2} - 113374626824195917386833297320a + 341419430960223469143620630432 )x^{10} + (-50578307040363525027224465512a^{2} + 319888261225072653625396140688a + 279164728119754115141331597128 )x^{9} + (156737936833946846001480804648a^{2} + 565494339902070537192440564984a + 127108320815473012680506898232 )x^{8} + (269108448666947091523372798448a^{2} + 492294036947363687422457982200a - 518939886175965857982240455744 )x^{7} + (620181731166566513917504402712a^{2} + 128940699677905707088993634376a - 216678457332408352384205727880 )x^{6} + (392238756072406442227045318720a^{2} - 119108356447034832273720377880a + 603388875519360178241530911264 )x^{5} + (415363667547019559420477183288a^{2} - 130388091007923562590654072160a + 24339517769525681679497537560 )x^{4} + (-255000592107530243734772599552a^{2} + 261881842377319587955078755928a - 397136545424977072616927345856 )x^{3} + (-507020521303467407481447056304a^{2} + 39294321001343662600318179848a + 181291666495854187590062649080 )x^{2} + (-209848930701583271641795186128a^{2} - 141683483799197134551600300424a - 365825623572262257449573139264 )x + 26430038470745201337989504380a^{2} + 249387242888565866280662834288a + 430811946554452110378177727440 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary