← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.24576_466944_475136.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (143110555595502440101590030040a^{2} + 529818072729882814306777940364a - 580738443624513614859421623292 )x^{47} + (-430180004236509244982461558200a^{2} - 330083702830235092735103408348a + 151560391368620603116771337892 )x^{46} + (-407549108784329774948814610454a^{2} - 528547975903720711630221749678a + 139317402866502798765341559106 )x^{45} + (-19561466338385191496893665424a^{2} - 175948284528327117274146500096a + 524109135628392177449377792132 )x^{44} + (124624258695926708187254725796a^{2} - 555245125534151634942241497816a + 5686076304036278408094341340 )x^{43} + (-348480485888570673743546205122a^{2} - 494893837938928274051154791382a + 308251602979709320772036696062 )x^{42} + (143214630029334388354987503144a^{2} + 63830114402068509576065066672a + 452812034755110442714338147848 )x^{41} + (-626678150078523023903558062452a^{2} + 380911871577616884350620131988a + 461817731904182315986747863248 )x^{40} + (-459294320854683606961080089876a^{2} - 277049064223200423908297803972a + 511319897288041131201448945000 )x^{39} + (-194601472087728359892931533496a^{2} - 150640039494405039184990450044a - 265462995763915797574034632364 )x^{38} + (-197284544816533758692214470104a^{2} + 2453425639268849319683508912a + 410418754142042808800931057820 )x^{37} + (-343872191620456801840086246104a^{2} - 229627557375774481038550176644a - 566258930904616101849810934248 )x^{36} + (-519098641039158868739406260784a^{2} + 210097058095436396330714089800a + 515805867728015605693533473636 )x^{35} + (-374242492461084109898545179876a^{2} + 312653764509983086401841486992a + 380516671618746122047723707496 )x^{34} + (-15478473619739177652943086288a^{2} + 106358387264029476226835984388a - 620069886575524319550375771980 )x^{33} + (236128337508108839992703035860a^{2} + 240157270035689997314571144180a + 146745131480251136620245848840 )x^{32} + (-451023676634046962541005985112a^{2} - 424628538744141421230241471472a - 115457755059411300954810452352 )x^{31} + (-423356744271618571580400091252a^{2} + 81349386844405739725183478064a + 209476160135742591081486135488 )x^{30} + (-543312718219847701799516838308a^{2} + 455282513927048999511119616084a + 106847079661125827577540160916 )x^{29} + (457172042852833629500702839384a^{2} - 619026301214987670542589405764a + 65940114893512303736666759580 )x^{28} + (486640004037398016911030879608a^{2} + 288264152361678320814238995096a + 519924424608589926316222955264 )x^{27} + (-152651969419158690754790102108a^{2} - 180511256588312498691414579228a + 33962586295872414307861773740 )x^{26} + (-139591179237886214724927614504a^{2} + 216549266461310636673212075332a + 538360207151978275465321726940 )x^{25} + (488503671428038480401585982536a^{2} - 554112097801655348931676399496a + 585683057388068602289050628440 )x^{24} + (255384222851845894105803305088a^{2} - 238168134065449121199626691864a + 46911737019880650914031581200 )x^{23} + (121055392285167286958541734040a^{2} - 467073769728110874562867953912a + 247309880441197644713517652216 )x^{22} + (12331377063131034932256451904a^{2} + 242008306909072583884257239692a - 386648067879801599095344972296 )x^{21} + (-161298284193225344678961939896a^{2} + 549013571865091780973244901112a + 272296959885467151268947665984 )x^{20} + (-9694448333500892478598694600a^{2} + 514817876429016020405599854840a + 19362414385597089275861652056 )x^{19} + (280626518534392188521534704864a^{2} - 354853760013366159319168540972a - 177655543958896816887816968728 )x^{18} + (-428856986952287427434427681360a^{2} - 192713678341797278102064013744a - 211296198335796464255912463680 )x^{17} + (384030209820591972354613787840a^{2} - 256047478303962469981988933168a + 290357216462201729399066308064 )x^{16} + (-26445506202872070896628707104a^{2} + 256431883897698407774973529632a - 334885861528040564037270312424 )x^{15} + (487749168621539782993758093056a^{2} - 442980753673187014330789174200a - 618731989649146856480998356408 )x^{14} + (-28217102769699689678683489048a^{2} - 599775071392141105181574171456a - 269155574800209256628896409624 )x^{13} + (-420633968953899342115495694828a^{2} - 633610472487832054214941959068a + 88441698534514793136938991972 )x^{12} + (618404466062485725648008012248a^{2} - 233437511319041731533871285568a + 320613873172833481662090908776 )x^{11} + (134081399757679048404593918032a^{2} - 138662862182321021281974390360a - 623175101844980059415680351304 )x^{10} + (-408035216201196265907025452432a^{2} + 347071832928042604775635223056a + 32203035970791700338847453640 )x^{9} + (-168683235163702402290347489560a^{2} - 556652566479076838396291375704a - 295862588931236778641585288136 )x^{8} + (-167931011807285247249809555784a^{2} - 48882674658317909807152913392a + 480976852740007911885753327840 )x^{7} + (155742503391686833968121033656a^{2} + 469166509123030641399431415288a - 436586983842332643655509713256 )x^{6} + (583577665078503297769800057776a^{2} - 618273930587675339270922867704a + 325627795626184357796666220992 )x^{5} + (478695694996239855930190704424a^{2} - 314664976582335210293774180048a - 201623301278879983430927125688 )x^{4} + (-186943399807321614935953179488a^{2} + 406602945805209981826759122768a + 176511426044574327451307970440 )x^{3} + (549615208754848711251164030320a^{2} + 220094539054091573635640887112a + 490041689276506974565817101600 )x^{2} + (-496335159980939702349344056472a^{2} + 508212507677516504820156323936a + 86450167402299821955024968520 )x - 457941768042077873162632777692a^{2} - 415241106371571380526751172272a + 53645967874141082915328303068 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary