← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.24576_466944_475136.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (565059317833792264706247307600a^{2} + 289677150375791729921760302500a - 23393765962057870344100726968 )x^{47} + (-85628342697569375866550422096a^{2} - 313626187340074971501102920916a - 101980919082486212173592804776 )x^{46} + (-333710487346023804259480717084a^{2} + 429026445198836459364341539402a + 422698971151970973220615533484 )x^{45} + (-514714139139497453302285574260a^{2} - 210730827432589659928534583280a + 627018225400594615264472883860 )x^{44} + (-312537205402395823691014051312a^{2} + 192137228138227207741516165948a - 508389368510040546177401526456 )x^{43} + (-278446564463088158225344725128a^{2} + 626938949745558954407856484a - 67163236012990474293306694114 )x^{42} + (-346417219974813707124635235564a^{2} - 475801229769465019099751943444a + 34382661067125533519732325100 )x^{41} + (-361573571708038348468703493672a^{2} + 406912740619568034345401802140a - 94065502951104853685551194572 )x^{40} + (-375641158365549944421361292328a^{2} - 84969827637109985746042064064a + 305943083371678336194503082288 )x^{39} + (-208100853024014598702757452296a^{2} + 439534506853442734603877407828a - 147554398645226822797024223104 )x^{38} + (235287584214691856603273233672a^{2} - 580079245986504981754095629436a + 373436965097029490881559627168 )x^{37} + (143724578048033362427102546284a^{2} + 193557443720035943685187096088a - 56721499419357974739220548364 )x^{36} + (-287522274511805260347433800308a^{2} + 48517532566416928845832833500a + 72549711535045605337458701160 )x^{35} + (-232938516653760848915000542196a^{2} - 228527986802900236868146258288a - 7234247126862226589480152032 )x^{34} + (525195357611967065664322654476a^{2} - 544449143576392384997490285756a - 363056561223000602664095101292 )x^{33} + (430246640648789102295516699272a^{2} + 494200180747139949757226088948a - 174768780211928680159953570700 )x^{32} + (594901162365083825713769740928a^{2} - 311995224258881499552117662960a + 517349611350558707868650950568 )x^{31} + (-320013809864861614401756812816a^{2} + 417194300445523052833873283092a + 575717777730241853525917842184 )x^{30} + (315976213693572684337332518836a^{2} - 218187383775930194563698297972a + 333682021847055318107904747464 )x^{29} + (575648640571583012665354248828a^{2} - 104647290791061671846129575312a + 532086408771999489267793494000 )x^{28} + (285923796247454312536283304832a^{2} - 425200047356549239869193060936a + 444029328259547174588888708984 )x^{27} + (64308472202318392991799327184a^{2} + 590499742482260458707844949052a + 45833006839677946952739936220 )x^{26} + (477125893171510166613389964816a^{2} - 221267939510644451569102316828a + 383705904507079062333990146560 )x^{25} + (312320492656130773668763969508a^{2} - 555073283273561690326341671240a - 120337538464112311971091182796 )x^{24} + (-586461381393304484970173725128a^{2} + 145716995335793636316519600192a - 283496018338463833965801123128 )x^{23} + (-110368915706549759411174949784a^{2} + 172408678457325848725182816832a - 100728073407040636927136554048 )x^{22} + (203794989531719286388971154892a^{2} + 3324631649789172351940282500a - 538129486957796133205190109660 )x^{21} + (358872729337125184562299813072a^{2} - 487039745914798311183896186864a + 355553244247161036701873816464 )x^{20} + (-450299844987072510520500278320a^{2} + 395073531339356300183049614920a + 373505115716264255108254992744 )x^{19} + (218399883183106465850760303956a^{2} + 350566783377128151440290124564a - 625816455160430211505814826944 )x^{18} + (16803557167981661230550227888a^{2} + 156301196286747897982433523896a - 574140922394730831481686124304 )x^{17} + (-433849487678449873257392359560a^{2} - 204846957299806300923274224072a + 307396760470235721367772328640 )x^{16} + (6109603198682432414903184552a^{2} - 441190014264992978649729097312a - 457746894593964904353038536648 )x^{15} + (535034036216230625863761163288a^{2} - 4593846246257824483220449856a - 282410248493971417280833674400 )x^{14} + (165531296524517088487806011584a^{2} + 510399751272167848832380478192a - 191699558922888064575399423424 )x^{13} + (-5066559778931204022490842984a^{2} + 551593450735800306444369685356a + 25687270261180887094158323212 )x^{12} + (-550558761277306333700460836376a^{2} - 34583652725501848625521742664a - 517366790206461922265259317264 )x^{11} + (-412539805038500045172666497256a^{2} + 295148117967922368028655207824a - 412488479597489075274490878368 )x^{10} + (-142143973598588715810000211808a^{2} - 192088977120729909094167940704a - 337171285206125627380947029472 )x^{9} + (154675464531536005426127151584a^{2} - 157555955475405371564945426088a - 193001630070571961768934835160 )x^{8} + (206011589349913061937910972072a^{2} + 262631932129570468491493032784a - 95328129715246672695091373576 )x^{7} + (510460701541294629808124101736a^{2} - 233974260638025072181444696184a + 442652169225746369953113466888 )x^{6} + (-250987700970017202361779352816a^{2} + 267045905348584594901408374136a - 185207564939697813173558752192 )x^{5} + (-532102934231080080177645478248a^{2} - 253290175028826164309492367120a - 308873455323560902599132810472 )x^{4} + (541364364151946156446927620720a^{2} + 475433143750717800443399637320a + 334568563490330288255729718200 )x^{3} + (154085608600768659672909415664a^{2} - 29909362996999723976364262944a + 237846803321107955453866652904 )x^{2} + (389981131761475724250685175208a^{2} - 203088502886929149869276719368a - 341557503832163865432826182184 )x - 144830025578496171637379795088a^{2} + 364297718671626576287291164540a + 88255966426049290629796059208 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary