← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.24576_466944_475136.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (630237088302931661959171637476a^{2} - 386101910215083285243007276340a + 439926546250377649164717612512 )x^{47} + (401685863502097636022504471156a^{2} + 126908616542698711614540645368a - 591177598429409499216687849136 )x^{46} + (-527323778918540888088678641236a^{2} + 598380370953243887213483043976a + 619804727102063766349713637158 )x^{45} + (-116965433680977629999366955552a^{2} + 387941514435234240526608954824a - 561544199717579035964862801808 )x^{44} + (-287304631897501297319689110816a^{2} - 622893912635080392257386202616a - 570149686203271502812815037448 )x^{43} + (-66066784462316694023953859370a^{2} + 170763550852458720987682597978a - 55165562984909227103689887260 )x^{42} + (566086005915287158637468822680a^{2} + 81007956444602550486987791472a - 289047064532211513468944309164 )x^{41} + (583363720985289866066546276384a^{2} + 457511106056010127412494650016a + 560846922271873886711386639376 )x^{40} + (-556603112845564654106522067816a^{2} + 200512044095426139988253801704a - 248561535271150585331263202212 )x^{39} + (79920662229992880880700266916a^{2} - 537814213292269695226339825748a + 389217964049845451808038771600 )x^{38} + (37765150523821177339176507616a^{2} - 58063443133372403744527003504a - 156255197379316340645623496640 )x^{37} + (104863573695414189366815551972a^{2} - 518344390283717079116402650608a + 327457007766468036566479306700 )x^{36} + (-414224138043004859331142737788a^{2} - 301163084457864944952977038404a - 248480733527839600692961705700 )x^{35} + (-151878549313438316665792090836a^{2} - 143183134073092176108071110680a + 287560495338023374703231547920 )x^{34} + (-224065367993518056619674877604a^{2} - 423535674373283990217923250468a + 299389719835604657883230541200 )x^{33} + (472942804075367977689511375920a^{2} + 414320438237156863532575401724a - 448510877070376426939448544312 )x^{32} + (398964502162908340611946308096a^{2} - 460551032987672450082997918344a + 356598737636673553434386557304 )x^{31} + (338520909186776559278943194228a^{2} - 44632471108845229311835233784a - 567121506937101626291912190548 )x^{30} + (145920806843682762879849087164a^{2} + 560420495598306945658722328472a + 519871072842216593892056260848 )x^{29} + (14187505580519356960944454656a^{2} - 42109625768638746952107461088a - 493838750202044698184898794012 )x^{28} + (555417239270465407459476654576a^{2} - 483559466682570166826547127320a - 247243396077656959189504489712 )x^{27} + (343165540120563173729146613948a^{2} + 257465263864908601041840429576a - 574100692507991708203289393940 )x^{26} + (198479470109052079570137848452a^{2} - 206178873869628060809075732476a + 55506604111884278489587092848 )x^{25} + (-383234037677735603876297820084a^{2} + 297555118847852593299076950588a - 430009093002261400348104737624 )x^{24} + (18006116867526586125427062968a^{2} - 441544371708968947810122185680a - 260060076937060247645912107536 )x^{23} + (-227978894491293755458462335168a^{2} - 428820421798045571005900388792a + 366308613371896440576466583512 )x^{22} + (-115284923922028375664494674380a^{2} - 10913710755001671009773163664a - 87435486697280711357555904908 )x^{21} + (-85290281456779673097141373864a^{2} - 575026733825408230786713459368a + 517368717842820953494285593456 )x^{20} + (-424927405925037846738175643432a^{2} + 27616144593671861869533766144a - 339845334985412946104882006472 )x^{19} + (348857421856388930189352490928a^{2} - 364978124629781442361619194260a - 113609082911632409532748850740 )x^{18} + (300632049790022138208328317872a^{2} + 28916277113418869953575114816a + 135056470300655140715817979936 )x^{17} + (524057568704599581027463463792a^{2} - 443757818666398565694435583288a + 53967159436088804191182723328 )x^{16} + (37032088912777253227656346136a^{2} + 595641754504890664602994392840a + 436099535720080289014666657008 )x^{15} + (-429086405817792456505437982240a^{2} + 281186949049743941849932919024a + 45126734639863035735846116024 )x^{14} + (-30422604567058019072485659072a^{2} - 589195662973475744929524163568a - 108470680235606126393124552664 )x^{13} + (156697937085270286812162422420a^{2} - 358253371511122134372547344648a - 391354250564646405037332132060 )x^{12} + (561989785903937191970238665216a^{2} + 175852597690734379580300929168a - 135601035319795430840470235960 )x^{11} + (-406996476666955386240033387504a^{2} - 489042086392959416399641256352a - 530580852954229558882312882344 )x^{10} + (141086959684093203606141586472a^{2} + 48468872145262831093031521704a - 498769244915191155554126269448 )x^{9} + (579871708631026887330045475080a^{2} - 603876469379623837237240935232a + 15887342519359474104088359176 )x^{8} + (-171811814519446964352668491072a^{2} - 255100861458645649381450423888a + 611296512415696688679373627592 )x^{7} + (-146654307480371053229146252344a^{2} - 397366880267266868995534683352a + 271879707225769746382673587592 )x^{6} + (344999990228660887255054253040a^{2} - 589143811701582238178829653720a + 582191583294548844347183515136 )x^{5} + (-80096816426884836229058179832a^{2} - 162315145555609651657735810272a - 484629559057782045114733870008 )x^{4} + (-577198737679472811703325529368a^{2} - 157528153098557628465256359056a + 435872993104227088436464734000 )x^{3} + (532411957602309789282746038440a^{2} - 536896382605362702316715476088a - 328668534682116413878367620536 )x^{2} + (429431099146627776971229718976a^{2} - 595549229767095382136879136040a + 473120723151487570181543281736 )x - 499916539615202328856743932052a^{2} + 504263819399892753709953475700a + 527610255827763121956020097716 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary