← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.24576_466944_475136.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-215464749687007914932874290340a^{2} - 626242832569174369628024914204a - 270379376315396007816664696540 )x^{47} + (-271267556513046854342640187044a^{2} - 140414543247447285045902348560a + 393549225131331168000106084660 )x^{46} + (-66241319469186712097435071594a^{2} - 368214138471973558649612765472a + 216023028154234117995301357292 )x^{45} + (125856065252867019606716639372a^{2} + 3159531123807698640783702764a + 71264875259077208637010931728 )x^{44} + (-476059984719505559045464782620a^{2} - 181298150318585749060503561900a - 105630300358943501338502393060 )x^{43} + (410628308340616959765825006228a^{2} + 398879012275689646565360374278a - 340145091047445043034434156346 )x^{42} + (144204606093203426381793949284a^{2} - 320275128856187681552723863536a - 409668118874548221027963298372 )x^{41} + (-106911886575423050876415270272a^{2} - 178787399334945615684988554376a - 7250226012612793871764006700 )x^{40} + (-394167893181748391071761761996a^{2} + 231314077868772236526694767788a + 373851297766497661425391613444 )x^{39} + (-541259849349376394510822809340a^{2} + 93712823480489831382737134132a + 289397410109633100581273152980 )x^{38} + (-121228185465152265247698263240a^{2} + 403119173500674814893535188788a + 601119468775764862559498828960 )x^{37} + (-71494213178094197753971290248a^{2} - 580835081449901911939104852076a + 80735842783645733642410120396 )x^{36} + (-197838677118238411524279111280a^{2} + 485441236731700291294420991588a - 246772626509449890104492540684 )x^{35} + (176181745465797986666389689692a^{2} - 367186901202038059167711388680a - 73822471565481264411540631560 )x^{34} + (-601238422931116847645105005528a^{2} + 228772045764027778674523391820a + 251417776569752393136800031720 )x^{33} + (-277143718613492469465115910700a^{2} + 229373966896916303998651033100a + 522537277381726469060797455852 )x^{32} + (433879506015546252192554600152a^{2} + 225820433669430884772005712616a - 10157887977794484893009064976 )x^{31} + (301478542770935954052086883912a^{2} - 609523233243506623357631273940a + 489816752865238431197022841844 )x^{30} + (-279234966867023622918784275060a^{2} + 546868025031533239678677391320a - 364002152079487763705428691388 )x^{29} + (378493238021123852522370495948a^{2} + 288628166435174774852868693612a - 36404205877781260213813875408 )x^{28} + (40144566981470124592094268408a^{2} + 231514417977065708803586407016a - 317287595299156999431288752504 )x^{27} + (-486085981078419550987452181552a^{2} - 339627959933008025087546410816a + 615926160861452690495479716332 )x^{26} + (553741844535261176790229988412a^{2} - 163922812865378235462565871060a - 252022580962004699140666407148 )x^{25} + (-630589982690707679281344465308a^{2} + 131172450262390722960618769576a + 526248747444374271893465090344 )x^{24} + (34419952666357401605589881104a^{2} - 100350650156792392604147381440a + 570870240865945180436125657840 )x^{23} + (-617130852764343479311528318384a^{2} - 60658795467174744734234242072a - 535049070511420144282218229600 )x^{22} + (221324775950317924909984556372a^{2} + 140315352161394115324152263172a - 548002687622831778453525749600 )x^{21} + (284676069635139618323778323904a^{2} + 520403664318593536541562755272a - 1563205075622776806142554912 )x^{20} + (-404444785988341472628890867920a^{2} + 247078528491040419593157184784a + 233462611504633968756244480664 )x^{19} + (410327935986305865026488949700a^{2} + 238125348777396428718241515684a - 387168036365243215935670141644 )x^{18} + (-45872741774687932159510951776a^{2} - 523392623612377568081090574512a - 587209712149111328886628217896 )x^{17} + (-625080351200439370249536719664a^{2} + 67559154364309743014039147920a - 68568983866837621027049468032 )x^{16} + (-432747555107157364967697940784a^{2} - 176457204046034975589118316360a - 250221758091817638236443252784 )x^{15} + (137776101733697087868430308168a^{2} + 208384115095219843329290123480a + 626781384418574090015247340112 )x^{14} + (-304926890440363753530045010912a^{2} + 319891254941591914071757581768a - 422432488986153792397562450728 )x^{13} + (176240619883819511384248045320a^{2} + 43862662333421203918773170296a - 576331301498003106984189777380 )x^{12} + (-589310896141896188379605071008a^{2} - 518878719241159182394512652776a + 560948271843140331330392577200 )x^{11} + (459146084309201375204134662960a^{2} + 152598824738408766731650365216a + 263561442439167628002094395184 )x^{10} + (-199683290934731667051592185408a^{2} - 240263676263726052293178055032a + 382291399522537774263167872984 )x^{9} + (84492923312418087815203602272a^{2} + 38383267376190653798588858848a - 136165352635452097981888284816 )x^{8} + (-532869414106924568336403765800a^{2} - 255359531725349142239458860488a - 65366101308680802243564502840 )x^{7} + (561642332436229110795295635672a^{2} - 183127519672821216492789696600a + 258000008962988861761548555512 )x^{6} + (-46565465114503427413519093520a^{2} + 120597495665035457681104718680a - 588969563996471749392955761008 )x^{5} + (252144501830498579459262956824a^{2} - 489075947747044790573300591120a - 94180911723183925279561949624 )x^{4} + (-587015985081675013911958858520a^{2} - 20994978853763297377597375288a - 257890446699870104798852939536 )x^{3} + (13773059364488384617849852552a^{2} - 442540453553977386127342572304a + 477432208290400742901653695120 )x^{2} + (-403753733173818055210054854368a^{2} - 314862913378728093658550548416a - 489913742773690507752913537096 )x + 113915992580674934720514070276a^{2} - 333318946739750662135454278396a - 50914832277239069913567757032 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary