← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.24576_466944_475136.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-103875054757835697370973939532a^{2} + 42691540022453592449196332928a + 88195928967114347217799623840 )x^{47} + (-109468181652950300283882704392a^{2} - 48465372566708651932223038552a - 292532747047797997430975165192 )x^{46} + (560416568226194253651334679676a^{2} - 550771911436826481501794189482a - 48851737813344578182674191870 )x^{45} + (-194596388473600631369994461556a^{2} - 622183571388083031096078427752a - 542713156152503989263406779912 )x^{44} + (-387233553360672077519424584128a^{2} + 492325005586238145614595874292a + 254126852572103148519106195224 )x^{43} + (-262177407667486114270720134642a^{2} + 331146327936611088139658061428a + 509028293843546664379204876046 )x^{42} + (410291118971991097358729278632a^{2} + 407477496890239408198203307476a - 399650697541029528321377165332 )x^{41} + (503722250643395683601749284960a^{2} - 613490437021943623237607416748a - 102698617216259418998807816204 )x^{40} + (-94851072057800096573663787520a^{2} - 506328451029956813870695487816a + 43701923577820596681672992252 )x^{39} + (-248695203527579956521468910852a^{2} + 511377805176129691569235638072a + 304976812872695304409951220200 )x^{38} + (-323800753697021670672367495076a^{2} - 215928841244309891678171058684a - 534936533413356185176864267364 )x^{37} + (146438630601609210777641376120a^{2} + 390780564714096084158248042932a + 598112141944546437019877461168 )x^{36} + (-561998050386498927045836926996a^{2} + 206805355386630736442091293944a + 75276798595323559590613510320 )x^{35} + (128455439878959500633383729844a^{2} + 479686001995051770218678776584a - 428283433216132941342052846848 )x^{34} + (481655012569799740297290184888a^{2} + 323139861308546164541791688124a + 442881140817091989374993571408 )x^{33} + (502871817339959100529397221684a^{2} + 528579667470356354579741741180a + 404430840756379074738808257984 )x^{32} + (325763012180748524978510340416a^{2} - 162286860573727513706221098968a + 218835858141736671946010457888 )x^{31} + (-294088335673981940479626673292a^{2} + 333251912288851247201853041380a - 490265111324906705540022423860 )x^{30} + (-502745937863241834174997101888a^{2} + 315802162417372746821973538628a + 198741460518849419569078873192 )x^{29} + (166247482247942991164330475188a^{2} + 250174971286572670348543682928a - 410874360309664502069703271420 )x^{28} + (-38110326407694684450474932016a^{2} + 159955615370543582409998769832a - 105284976434048315010193632648 )x^{27} + (617674943897180710237707511548a^{2} + 517845066300858857358004330012a + 64238158808938925315519945272 )x^{26} + (-183556491001685404711152736180a^{2} - 291198093649314195252191526712a - 160353968927969545468183736984 )x^{25} + (203694926147419304622609681068a^{2} - 248569814738254483512615338176a - 412755430560857016575105515364 )x^{24} + (614735417746761580616405538648a^{2} + 217838180958810278583325681952a + 453629975308822952912684785816 )x^{23} + (263920788045505506559909922688a^{2} + 431179883445012809810173886800a - 632907165626787854650449727736 )x^{22} + (-359288154882466610052408232848a^{2} + 137155284836131558626382071076a - 631683607647398318437242284988 )x^{21} + (-185962959959055868287114265224a^{2} + 91562799323115554799116378888a - 450461936695893317583721240504 )x^{20} + (-140384659175611575966292483048a^{2} - 370722577892962230561423593960a + 520941303739349366058912352880 )x^{19} + (-361132242631843209766542267852a^{2} + 310291986190964999786911538488a - 28016348872050068482150166436 )x^{18} + (341905801775425419403927615376a^{2} - 267286465640266874404455092048a - 194682002748902312459550071664 )x^{17} + (42322198181435971888385738792a^{2} + 362237271633391533763288660632a + 483599978470947895425714207744 )x^{16} + (228949879740886406029399600528a^{2} - 578726862564309614315607711464a + 404862465075301577597951443128 )x^{15} + (237629111248855781406662849720a^{2} + 514687490410470026462013064960a + 181827986575329162213880717320 )x^{14} + (-145255801846168412438389245480a^{2} + 208686922616610105023761903992a - 102740831832533467983390349568 )x^{13} + (-579585076356356534868778953996a^{2} - 36707910912992728549186718660a - 153645992721921039572937235224 )x^{12} + (-114528676394862673181475333016a^{2} - 174427470169446216027076391304a + 141310834914077511564182091864 )x^{11} + (-469452542275763357079719018456a^{2} + 358330283311042615484947908232a - 46698256954466723062515383664 )x^{10} + (460824988247130788626431163264a^{2} + 223828178360840546603082810912a + 111342340872313834188650305568 )x^{9} + (-505598078880214058860748978688a^{2} + 328608104027120596420306479320a - 502016408018957669980873247464 )x^{8} + (-623732950040089015238733054424a^{2} - 274383750848222629711336148840a - 200611617509475212787382765680 )x^{7} + (-398786324433543998347807137272a^{2} + 245929322826166919321553726760a + 591090699427495442503967199656 )x^{6} + (-454578323202703998614209567712a^{2} - 541036813123222253715142449544a + 538645996654509199449001326112 )x^{5} + (-269029910118863840193594782008a^{2} + 627598726752956214661123128976a - 302034633683941119417778719752 )x^{4} + (453871134023134086431487742344a^{2} + 530370677470206981159233475496a + 123612408172010436032743465512 )x^{3} + (186051046342250404686261284008a^{2} - 338353658489925582966078601368a + 535162648918315145293130093744 )x^{2} + (-489467362280578222583155915432a^{2} + 578196181420284838277234392464a + 351248332842629471011217354608 )x - 210696163998697511264897144872a^{2} - 251585580727655921758679495968a - 373809604550776659865284893540 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary