← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.24576_466944_475136.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((-146567298681448329185668892254a^{2} - 104867563765001020726228627440a + 47294023844609456463782393082)\mu_3 + (57573539920391564262446234357a^{2} - 23515971150448764460944376246a + 18183763765998543998495888568))b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left(c + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-3a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 3)\mu_3 + (a^{2} + a + 3))b + (4a^{2} + 3a + 4)\mu_3 - a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a)\mu_3 - a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 4)b - 2a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)c + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - a^{2} + a)b^{2} + ((2a^{2} + 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a + 1))b + (-3a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 2a)\cdot b + (4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a + 2)\mu_3 - a)b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + a - 1))b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((2a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - a^{2} + a + 4))c + ((4a^{2} - 3a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + a^{2})b + (-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} - 3a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + a - 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 3a^{2} + 2a))\cdot c + ((3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 4))b^{2} + ((3a^{2} + a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 2)b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((a\cdot \mu_3 + a)c + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4)b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a + 2))b + ((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 3a + 1))b + (4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a + 4))b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2))b + (2\mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2)))c + ((-2a^{2} - a - 3)\mu_3 - a^{2} - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + 3a - 1))b + (4a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a + 4))b + ((-2a - 2)\mu_3 + (2a + 4)))c + ((4a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((3a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 3a + 1)b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + (2a^{2} - 2a - 2))b + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2)))c + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 - a^{2} + a - 1)b^{2} + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + 2a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b^{2} + (2a^{2} - 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 2)))c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (2a^{2} - a))b^{2} + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b + (-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + a^{2} + 4a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 3))b^{2} + ((-2a^{2} - 2)\mu_3 - a - 2)b + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((3a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2)b + (-2a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3)\mu_3 - 3a^{2} + 2a - 2)b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a + 4))b + ((4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((4a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 3)b + (-a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + 3a^{2} - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} + 4a + 1))b^{2} + ((4a^{2} + a)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2))c + ((2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4)\mu_3 + (a^{2} + 4a - 3))b^{2} + ((-3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 1))b + ((a^{2} + a - 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a))\cdot c + ((3a^{2} + 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 3)b^{2} + ((3a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + (a^{2} - a)\mu_3 + a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((a^{2} - 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} - 3a - 3)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a + 3))b^{2} + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a - 2))b + (a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} - a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + (4a\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 2a - 2))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a)))\cdot c + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 2)b^{2} + ((-2a - 2)\mu_3 - a + 1)b + (2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + (4\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + (4a\cdot \mu_3 + 4))c + ((2a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a))\cdot b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + 3a\cdot \mu_3 - 2a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 3a + 1)b^{2} + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a - 1))b + ((3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 - a^{2} - a + 4))c + ((a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + (3a^{2} + a))b^{2} + (2\mu_3 - 2a^{2} + a + 3)b + (2a - 2)\mu_3 + 3a^{2} - a - 2 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-455605672041098999317891928204a^{2} - 490846917145008449717361295440a + 575322461674543569075381231276 )x^{47} + (303301580877076949345837805304a^{2} + 407597551196962052519372345896a + 359478687156794114557292221956 )x^{46} + (-344467873355009899706683928774a^{2} - 445849092040472819725399438098a - 403167428207260097325555768972 )x^{45} + (542642602516720241731282397596a^{2} + 44447968769110564522748456904a + 238453704633856400194563109984 )x^{44} + (-442250292426734760652748472628a^{2} + 371100581992704335710026907040a + 306847694986476752554351222588 )x^{43} + (-595026846470617625455236822926a^{2} + 572785323236130200370750526196a + 98349227044204094233525635560 )x^{42} + (-444000959435967788681829991396a^{2} - 584759200067895486788933639120a + 301926529085368077705051234504 )x^{41} + (-281216526858255395820224349944a^{2} - 308853713979118569228332743440a - 73590879291998516469638320 )x^{40} + (156527501012209359458146309564a^{2} + 225078188921555781586543681324a + 187075443729020721773911756316 )x^{39} + (111991721080272059928544091380a^{2} - 511497616498874807245287396568a - 57290745530743711624756050468 )x^{38} + (-281322965432218745979872027196a^{2} - 315715741963338560589611203972a + 297344246711466871742600570776 )x^{37} + (347632142055862760972359546876a^{2} - 478264380602158644625843852936a - 141978113804288861462941341984 )x^{36} + (63360524023206976071136783704a^{2} - 194464335689861426749971673500a - 622609419364204112130143558120 )x^{35} + (161837824615023820091338694444a^{2} + 407326782328453814147030986760a - 7457790184203477259616974600 )x^{34} + (-178547544361953152547399342052a^{2} + 247120578953569642572502244536a - 454132278278212603375301924400 )x^{33} + (-456962688288649255217569247240a^{2} - 312439958631844291591892536340a - 29186744198724894380404279076 )x^{32} + (472614215616884717100339294040a^{2} - 41517247340035630138618981944a - 57417008484626174389554279176 )x^{31} + (-557265678828194397846027886168a^{2} - 411396352114021796788715313968a - 440697420502336188104360953708 )x^{30} + (149772098269711754244215924456a^{2} + 424136990440267301934126545692a - 17332695865386250462359252100 )x^{29} + (-180685918988556834310351109528a^{2} + 468409593149962193338613669756a - 39460246668165059681227499880 )x^{28} + (205870382269240322515381982032a^{2} + 173642032065154964810557252160a + 11017549215603171748345102232 )x^{27} + (-324039461832260901053125489568a^{2} + 244642260307021980570884517876a - 158694767064453351662786775744 )x^{26} + (515849027501203106481906030708a^{2} + 354436157916471943317894513552a - 321027477638188773641902383140 )x^{25} + (336111611589360037309716983484a^{2} + 503127775852669328692435398072a + 98306356019196357657356183436 )x^{24} + (69252646612541292343490011464a^{2} + 411356243166214161970824574160a - 344570319701712173979569810128 )x^{23} + (-65743942667710103107277904056a^{2} - 541243750877346872254923439552a + 87741489741087738381878513816 )x^{22} + (258723962504123780493921925084a^{2} + 177137662583736966765422042760a + 154766725294808449811765559000 )x^{21} + (-87726797361669147121442385960a^{2} + 77886769741056577299700851704a + 222616854941076886101186918944 )x^{20} + (-249618393460065500673857038608a^{2} - 35705377910097446693414938120a - 546911978586648211940492784208 )x^{19} + (176227253421172137471161409112a^{2} + 64226451581713255480303526424a - 123689705510292152246571741332 )x^{18} + (288395930763434033006572225272a^{2} + 320567890766586807839943949264a + 77661484572880792192556985552 )x^{17} + (603663959480143588049228592560a^{2} + 346695801325622873899590013896a + 133434213178702721718464912376 )x^{16} + (533325027748022720771621894248a^{2} + 243512462879107176578474575624a + 223928401756639222441591827448 )x^{15} + (-44133551730069107362637603104a^{2} - 555676721793830647935054054120a - 375615013064469802529035800272 )x^{14} + (197669580674880038612372316320a^{2} - 419669123671494675263185503112a + 276655370939761524258662519744 )x^{13} + (173939239282728852720977617032a^{2} - 277231696180699391650199094524a - 436695773216278780436797000464 )x^{12} + (-242283762552025259197925936104a^{2} - 539242320379390841182188163152a + 83350166690241947215807431360 )x^{11} + (-39937496376036523482453750872a^{2} - 439539984222292273993521389464a - 488465945927940584050211142288 )x^{10} + (-121167238872190071860285666208a^{2} + 254628635226061360419136897728a - 122332376695032237280259496688 )x^{9} + (331092820381487490211807604952a^{2} - 120205462225929238539972746688a - 384190112588157866658947005224 )x^{8} + (-593557839258039671018423679504a^{2} - 66387503411163222794378459096a + 352433809661832932489867952712 )x^{7} + (327804918728206654104419841784a^{2} - 73823879948162132272004194728a + 253981523504866083586111833560 )x^{6} + (-182806840481138057674154149952a^{2} + 211332591042257644158575290536a + 80975532993318562126639353424 )x^{5} + (483686950008915906803885243224a^{2} + 92987247545766944801761253888a - 493548949937221003457516979928 )x^{4} + (167865759998219533467329543560a^{2} + 478445340217563511937463799728a + 619050067093227089024717366920 )x^{3} + (-544995858886083987026963681112a^{2} - 257352267756432036273013261600a + 28908354825770404549178051640 )x^{2} + (515729309544016255715316353128a^{2} - 348813245197804373512388315992a - 46899794397782842964411094000 )x + 456414074891713369019567414664a^{2} + 186779878190127202055160537180a + 330756601329194417178539866596 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary