← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.229376_262144_491520.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-218681705544433602489388848692a^{2} + 199227717125561945259105735160a - 382725034727604453213990475716 )x^{47} + (-619456853669963344002923266768a^{2} - 583660900247024454427483098600a + 588060492812243323790002152996 )x^{46} + (-195565519686592720552502298834a^{2} + 421080020208353234132631669306a - 445990475515855429569967516846 )x^{45} + (529048298140067177394277920100a^{2} + 93358573678243042504661311880a + 418992993582801794363100891764 )x^{44} + (-463520368970858756399969076676a^{2} - 631192974043216090712376788720a + 410231184263773007288438238004 )x^{43} + (550488239601782843793729205232a^{2} - 349703524424462827483740971370a - 456788958101705235253890721916 )x^{42} + (145665569401660878459554859108a^{2} + 25294024950664337056739034108a + 84889027537874289335359889000 )x^{41} + (466467250759554452114508062588a^{2} + 607535436300812731657398626368a - 63722871132131082095074085672 )x^{40} + (83962254107168381835440387884a^{2} + 48873820276853768498433353892a - 6902527582195502989984165404 )x^{39} + (-404340735250006399559907403184a^{2} - 608284575744734611059795259280a + 417703932698094737011678101352 )x^{38} + (110403068855475948055898476436a^{2} + 368689555079847779465569533796a - 236900968903061390847735645320 )x^{37} + (-349389062139753054609272400036a^{2} - 422497081587998805601603912888a - 117081218241421799092338819484 )x^{36} + (-508775260415160378260367033468a^{2} - 613336845959396356764919256456a + 209439689762400077277880857776 )x^{35} + (94926367175560825447474120176a^{2} - 369329748839702959709733549056a - 53396988478622526411037938644 )x^{34} + (2500288832068689242840586920a^{2} + 378504177925261446046669225008a + 335909176604170462893087251432 )x^{33} + (-262567983155843686809371061288a^{2} - 533922118327818801133929752076a - 359771366591151458377977792164 )x^{32} + (460689859429999670911322327936a^{2} + 326156218505426788811161528248a + 421458204088012130463492853064 )x^{31} + (239288036842478614668787908016a^{2} + 402125780839482923767655213744a + 468009187988112443061844867000 )x^{30} + (398964739549510708853328754456a^{2} - 198760235958266111308816105460a - 469815775595525959160631331172 )x^{29} + (-75977140855662956427575715160a^{2} + 618051923483442393596919374844a - 322239614845592566041626227188 )x^{28} + (522734020735623731824630037000a^{2} + 121995853918365086762573033056a - 338711191627028199011144070880 )x^{27} + (-629933397187329876733212254948a^{2} - 623419126424227628369350273864a - 452655968861048129330925566148 )x^{26} + (399384676571794917857527673980a^{2} - 487444267093087915838736666952a - 273013439621908421941423577948 )x^{25} + (-505860502659191042979044853156a^{2} - 422360743702642647282212207628a - 66515363321233174425764862924 )x^{24} + (-466712816122981010859459660664a^{2} + 185450308800279654684424659080a + 122339715069387457305735699512 )x^{23} + (588192634988207042986296727472a^{2} + 88881541868354076486332108416a - 391158539523727002981234054768 )x^{22} + (-408983905333125143555177891324a^{2} - 163527273840739840678966533176a - 88553078866968644376174541112 )x^{21} + (-566523688837231002197141354984a^{2} + 374628525039343997566676494808a - 24026592466607573815565806200 )x^{20} + (396292790665684183893680529832a^{2} + 273329094255608486477799400336a + 560624937219588907227873986408 )x^{19} + (-320203799363174099972931110428a^{2} + 477384609054074018178427193796a - 326730450273942678153819850468 )x^{18} + (-627035388862399322282649173864a^{2} - 532544540520118265786284048872a + 400710834289201549397688896792 )x^{17} + (-238835837150316644068266077040a^{2} - 85790843318296308931541539168a - 583381209011826720722224412608 )x^{16} + (-397490819941232636970742580984a^{2} + 324757301497716263763081245432a - 287679127222974543500957692976 )x^{15} + (-502625578860649877243045538816a^{2} - 566042653617452646082683474504a + 567980321375838952473855023832 )x^{14} + (-274612205695189337114683689240a^{2} + 473315656402861299097769554992a + 615739890417068227706459009216 )x^{13} + (588975019660376246740541129420a^{2} + 217278574906317893516119542040a - 275109897870278602927703676180 )x^{12} + (617621498435573184101610055312a^{2} - 216313723260007757707000770848a - 15755503395467085385272738432 )x^{11} + (384151039429464211064118684016a^{2} + 326217646574876208304605101480a + 604425255736462961869500944920 )x^{10} + (-610197345135894535617675934736a^{2} + 100562952388700414758944480912a - 99672567881888550787171327160 )x^{9} + (556279465632049639130459183304a^{2} + 571685851702128176440088710576a - 549363305165389619477292219224 )x^{8} + (-270338764917922840191254427000a^{2} + 421213983050940325574140939008a + 196359584026187698894927721328 )x^{7} + (190131083692211559200057678608a^{2} - 586435581323225145976905187360a - 627977411261582703454244125680 )x^{6} + (199459594143538657522566151536a^{2} + 565389821676786745783463833664a + 562577565767203951512273436696 )x^{5} + (-464232746633383490020085315216a^{2} + 517154731044342446865561788880a + 498930734121498223154590906072 )x^{4} + (265850059982822680072999015032a^{2} - 580625482015993734521378531416a + 84829713473876250874208124648 )x^{3} + (256585072857425061339231204512a^{2} - 601639989766062435663107483720a + 349711976631648943968455921672 )x^{2} + (178400712204513410310013261920a^{2} + 372273195740925142313583170616a - 140659896062505535410875062984 )x - 386622617698473240221072932360a^{2} - 335885578742581472607076865100a + 169160530889291232737460662336 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary