← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.229376_262144_491520.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (540840845984582550341083611668a^{2} - 447420191417395025033423159260a - 106644756470626365910106420088 )x^{47} + (275743396428421770808016739932a^{2} - 424327667284639490540453951472a + 132366376674872815689310113944 )x^{46} + (-175985722918341092327143794428a^{2} - 389976184225001168133147653226a - 235468505047666394589750072420 )x^{45} + (-463854934158663891281576136928a^{2} + 590328428442259645399639702456a - 512345145295717872832756289932 )x^{44} + (485851424648121832637814308016a^{2} + 14687978224221311079481240044a - 607553356596289746247318684676 )x^{43} + (-98835999154227987378174183660a^{2} + 116088886575966791287548901066a + 184291526953081892047464551466 )x^{42} + (46675014902380382829939136576a^{2} - 62387196901054978812688017940a - 265679587393632662597857331540 )x^{41} + (489496422976472204124498886512a^{2} + 429649085537390596423229473468a + 409821845651497628269208234652 )x^{40} + (140482157201948581382986056744a^{2} + 289381544308205701975626107948a - 435709509044308914499307076016 )x^{39} + (493581735846369694905864172616a^{2} - 122635408166179877563137197848a + 610966624068865184292829976128 )x^{38} + (-6928053569193080033500278600a^{2} + 229862051582529894027427891244a - 570358296253723785997260731144 )x^{37} + (-319095924822880859164674278168a^{2} - 204942340256864767804829751008a + 157801659528268081154258104964 )x^{36} + (356759407728645050065831210596a^{2} + 312877996496474687582236773952a - 149690208693270303304641002132 )x^{35} + (-212344336493668224306570605232a^{2} - 627184767883430616552907076968a - 321324428026101855008666198964 )x^{34} + (-133141799843782763515822668136a^{2} + 63553732173612074888166232804a - 519282876714290187566206973796 )x^{33} + (206554860440154931794842910180a^{2} + 117988815065333199557139911792a + 428742103950305327651739523012 )x^{32} + (-547676105967436155509636889752a^{2} + 431061607280480810539676248840a + 37574543878421175699322671064 )x^{31} + (-606706570159576583098192022272a^{2} + 532082722862190740685166578160a + 271688974027230750573021668912 )x^{30} + (257171783474399423684754788116a^{2} - 415966065187047716537210215272a - 257135124166237602372482874432 )x^{29} + (-476633702396707317199165385172a^{2} + 609205002487373449026469325824a + 594291092483113666904060056200 )x^{28} + (-329049630982931221549326622664a^{2} - 539975143331666890177291425296a + 67537447270410348586270415128 )x^{27} + (-110787967813881982466148503844a^{2} + 359890976867922081549350017852a + 239107189592359958187680046704 )x^{26} + (-366589543925704679445071329700a^{2} + 326864089198850012139152022284a - 359612498323342788886329575000 )x^{25} + (-630576554504675318910295610712a^{2} - 252623228576656324340432861140a - 527962217122571561855009372376 )x^{24} + (300760541781310410717408108552a^{2} - 286221043006525440878181635008a - 66541402411498169731875623656 )x^{23} + (99776160927038921721909278752a^{2} + 14120053489662760093534174736a + 125711038462103865612924333296 )x^{22} + (-147735061755015638833785623844a^{2} + 379997424676650835852282080912a - 443760673517401268964165438740 )x^{21} + (492122835282255500180877598216a^{2} + 603350340724278774509587645392a - 16570260254605574185587480592 )x^{20} + (69987318157114297086210494872a^{2} + 243844876217190021732725996248a - 489653426007122334787126910448 )x^{19} + (-156626895581635138809056758976a^{2} + 283776435308569258585361604692a + 633628186366006720830986858752 )x^{18} + (-251287789570163108029569530584a^{2} - 263901722393664855138124962384a - 374707647173924696019054967680 )x^{17} + (-622355155063422159304421954920a^{2} + 433112375665463697365009295792a - 293718154015848257450872355680 )x^{16} + (-422202574446709703532271143328a^{2} - 286345549151340186456982978312a - 517581771190755433831107278856 )x^{15} + (-149057209242949996994389021400a^{2} - 352495354509083275192086222128a - 366349040242620989121879177184 )x^{14} + (-487956643684053596550986213472a^{2} - 213137453703904565290270746376a - 67337686974406841755676735016 )x^{13} + (-188317413398558500441591911892a^{2} + 444957646206165301554502647724a + 269291698273676783040130305768 )x^{12} + (625437345919986086236281535088a^{2} - 63404097890875516671719896816a + 556050446373001931961015422592 )x^{11} + (-315585027346679736660893462704a^{2} + 307306506408251104617234912752a + 109639705995191327896325663240 )x^{10} + (107692931604207901615597328440a^{2} + 240178000168562228133914291336a - 399110877548998832835875996056 )x^{9} + (450029478374118114716599077600a^{2} + 427112349391581505026679272808a - 387583101645376305030866172664 )x^{8} + (474085909616605307184843249400a^{2} + 131830450563430654714430511904a - 117899899226071166706733226648 )x^{7} + (-148620522106038439985162389088a^{2} + 524919712449794227748416046704a + 167225231057118903951613831280 )x^{6} + (-150318123105843879359819288704a^{2} + 500648044775289685787406629648a + 196987175476750039276954236584 )x^{5} + (-195666035063488114319518649888a^{2} - 450965956186093840962136721424a + 34262864921576408610023487096 )x^{4} + (408482935048147315517921167584a^{2} + 145847658565713226282097929384a + 45273101539800722768766263872 )x^{3} + (386124515202766259164814296840a^{2} - 81509086290027776147710676416a - 220623416248059205851070261824 )x^{2} + (-93556024379325934432799989320a^{2} + 105642247562741738923956527008a - 306330306214274906445591050192 )x - 566117527554554597686967445832a^{2} - 513814508768356144352409779628a + 324309405647092710109084301372 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary