← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.229376_262144_491520.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (427966202998523367803140045728a^{2} - 584980609830629390711009065484a + 376797516801411699616481984644 )x^{47} + (484203418672650824033681414504a^{2} + 506465215899673090387211568868a + 177411342448025071635139480788 )x^{46} + (44358408267344316563662931498a^{2} + 102027648727462755976909779896a - 154017455158024883637941714978 )x^{45} + (135049640162745066493533890384a^{2} - 172939440065740515333687752720a - 353514280236522590698456627236 )x^{44} + (231837489237602819135008955652a^{2} - 123334265247577847965590887076a + 450459914022054847513403223712 )x^{43} + (-631616865418758272212102688318a^{2} - 139118457275655469189352735006a - 456632879419222966610307416268 )x^{42} + (-63377924489545865463418633592a^{2} - 287485903950741487762855044376a + 217128594743733309837999753060 )x^{41} + (-532389497910706400552094819436a^{2} + 322172811823525904330374912960a - 536015473351690570320818785020 )x^{40} + (-426452171066413897697703594220a^{2} + 116682363110251536369087795568a + 561188034115943463582407867460 )x^{39} + (432047820028686791698203982408a^{2} + 428860263835887815573469833536a - 562485245162583536252307912808 )x^{38} + (505005519277427247671982849308a^{2} + 494481870894167072758186783108a + 149283931477021368528651022412 )x^{37} + (-147484331077340913381771099788a^{2} + 398042608399421492002492342304a - 560661910981290986250199096636 )x^{36} + (11998476394705363607578958904a^{2} - 324287045420868328566964952372a + 367724262546925369313329258176 )x^{35} + (-561056831790748806459646977576a^{2} - 203932505773767521372326679176a + 221027409424844141915830179716 )x^{34} + (434686842332853030680676576284a^{2} + 611605030655413642963386778560a + 583050825184748359419649667824 )x^{33} + (-470557810614167255818322647572a^{2} - 137112303176719543094010940452a + 463173820794050848018145040364 )x^{32} + (24275934982608665235617073816a^{2} + 135241159391051033886708429280a - 113156210433274776981547199168 )x^{31} + (386036525662497302557664118632a^{2} + 615099495554048732241651156288a + 374091599487192216398851964176 )x^{30} + (628812376817004449638021811012a^{2} - 247966900214988248949192514524a + 502367689138836614419935771412 )x^{29} + (5583760239800072660613597012a^{2} + 16672705761205225932654892564a + 360373592965253724962780074276 )x^{28} + (-349532747453255806162782871072a^{2} + 460008985054493110283998706272a - 490684920890247790240772519944 )x^{27} + (-592613758922686746287898507728a^{2} + 134660538728024788399281346940a + 225527802808569734562092842892 )x^{26} + (518235277914664752397409656296a^{2} - 156238603503458271707561161916a - 349010943902512432594634670268 )x^{25} + (314290370037431244547602378764a^{2} + 389458351449115249011319700040a - 528285031259429490248349245260 )x^{24} + (220073405521102873069669879248a^{2} - 301445384573760354216728938648a - 64083069337571972286964552392 )x^{23} + (-384399442913833544832642102656a^{2} - 488819242647035478763237442640a - 432858803811182081549970082144 )x^{22} + (548655751514489083278587932568a^{2} + 604301329677655191278849995812a - 346535669504102909902139081840 )x^{21} + (59415878001744618350207572504a^{2} + 283341581768598986587423413816a - 242556660725565684252797152144 )x^{20} + (616468123420497582771852751632a^{2} - 527699646841560992242015948600a - 486857476334622296027467368952 )x^{19} + (156651647977926200798000791140a^{2} + 118499925946236824453674366664a + 487519375701495822803615557764 )x^{18} + (133636739976718068151366444952a^{2} + 511330373557631742609585453864a + 38048689344279418481495174936 )x^{17} + (132105796665992621621190526688a^{2} - 221983547578163227758101014288a + 309531877123478618798404944200 )x^{16} + (50099073913788330508302778360a^{2} + 17027275362697264973390365728a - 384540017673928811598068110136 )x^{15} + (-310302604106857777474465799224a^{2} - 155577863510834443752990621864a - 132515592185030988793078087816 )x^{14} + (-198285457417908518809164569304a^{2} + 101786155886537550642641448224a + 527100454483239019735039491368 )x^{13} + (-179255420271417067954645966352a^{2} - 147433686114876404499993491260a - 460346418980686483607099236164 )x^{12} + (560062732033806426711540945568a^{2} + 564764090606995324990566824896a + 448377415294335259947686147456 )x^{11} + (-628152129773609954477736670184a^{2} + 236894187511570678191869164264a - 357026984997587907620942417624 )x^{10} + (-488302840414916304672796841832a^{2} + 234252165466286937958821112936a + 229729068308412789310375669160 )x^{9} + (205989451180580927314088940272a^{2} + 426060730688169928624988780680a - 26124421152161774966471646152 )x^{8} + (554583507446404498512007932544a^{2} - 269590611521397536812421415592a + 247455180108683206595257950576 )x^{7} + (158510715611522317965862058800a^{2} + 309553464198533505536892368800a - 280495350800979980006094300688 )x^{6} + (-334393419537197833259950578096a^{2} - 611904813865387683571967821440a + 620043265696315312983795515656 )x^{5} + (-56973566984277779875698550800a^{2} + 41285721127310807018467098768a + 308782875715704545690695493480 )x^{4} + (183126873555468587614809134920a^{2} + 133621545094730770258942989248a + 453613422369587967706278349912 )x^{3} + (-272918755451821877594433090632a^{2} - 629560732821151774942174410840a + 140255599741278848717828603944 )x^{2} + (-164026913980003726889831914264a^{2} + 53136793671984844014221544968a - 136193807943849332247314385768 )x + 472273532233264478766275027788a^{2} - 76220963683089838735554488684a - 205459592437098330815906300744 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary