← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.229376_262144_491520.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-287482556739283809914052884000a^{2} + 475349279359006081734731955180a + 100675954567967563140855764624 )x^{47} + (-314151065560287048687944130376a^{2} + 325163801120982615583531982708a - 24222858682085272048203362032 )x^{46} + (-431779605872070966045982508790a^{2} - 264066553771480264955704376820a + 89151445543635183981690718356 )x^{45} + (144794139283094413285632036692a^{2} + 69783468509226821351409899128a - 368225402201571024159483701952 )x^{44} + (152632004777603798184320783216a^{2} - 96442755094556556985631477072a - 457365781995858391371129679832 )x^{43} + (-426500776374777134914663848270a^{2} - 4111808558599112851029710056a - 175347152394049670480050927118 )x^{42} + (-625000224216955299145980017332a^{2} + 520968069759962128609402445444a + 552166667837089883580438013304 )x^{41} + (470552807002446433080822211308a^{2} + 457372159056122079208964094788a - 601360356136458595730687390572 )x^{40} + (-241906429420932095628752477852a^{2} - 152934154511590896466222677784a + 458943293131318834148552360840 )x^{39} + (-223104307574120085857452840080a^{2} + 458508462316250638702801929992a - 394110221717792899261465497232 )x^{38} + (-125258869906812308793330771576a^{2} + 77806392688845476617648567772a + 85739093319199152806708224692 )x^{37} + (-568932435956156169922991719232a^{2} + 22915677305914526755632117864a + 340718989247459246790659406768 )x^{36} + (-63343909735336208442370074132a^{2} + 615973471110601019451710391236a + 433918823561630560824046188460 )x^{35} + (607820861464776975092351904680a^{2} - 407344403808936470449802890368a + 276547627343484788123304712604 )x^{34} + (-500389718076573353773794302120a^{2} - 330771835788655344892680495116a - 172955145580906647659231657740 )x^{33} + (608680106264953648777784463140a^{2} + 428894961257210334922380593756a + 272844790021583127279684384188 )x^{32} + (53187368867867630155629914896a^{2} - 247625238962322171150437224704a + 179026973076649493415186048736 )x^{31} + (404892133542352436191739309728a^{2} - 201013124310221399672436102880a + 314814378377068600721138863208 )x^{30} + (330766902378968095897706309948a^{2} - 57306023089174654204686572940a + 150582420106334020885927966912 )x^{29} + (-213570064489148276696019566364a^{2} + 600824958593483587926377321580a - 90372316671505330402752813888 )x^{28} + (69561965072615913951067271216a^{2} + 430723392074091880142240870440a + 514932712384096728837137771384 )x^{27} + (-211042512062474749214589373848a^{2} - 287368697176993699730773563204a + 456026677232644679229308556000 )x^{26} + (16276307562578632699990799904a^{2} + 329573551048077492171238952148a - 38367284210641364213768129000 )x^{25} + (-298034594923124914831763530436a^{2} - 376649059046650735861352956992a - 140268620261093664195238860096 )x^{24} + (221472333381462510527549795656a^{2} + 628938962952788917370100349864a - 158077501779482604011274069136 )x^{23} + (216377274146684281415092920096a^{2} - 221358738509343246346872619264a - 272492778530108712300420242880 )x^{22} + (240187313223838567126974664300a^{2} - 143484059658919480432212516708a + 626793949354282134966605139420 )x^{21} + (-114008597804363674680139350112a^{2} - 343978538134169569117535586888a - 364517127940272278765796343616 )x^{20} + (-398023850612992880986880758560a^{2} - 442896398882604031714820277992a - 95035740845048311423176573280 )x^{19} + (-366517034514115419143011149028a^{2} + 129067417201762266419265671872a - 471482664745280454263209610112 )x^{18} + (-220466704664296453845039784752a^{2} + 389385129164380591266592172280a - 392786822298360531655563320152 )x^{17} + (508786066619685496837193554320a^{2} + 554620187554806298809378982336a - 140831730090671158529564629312 )x^{16} + (262726789333836874377604207048a^{2} - 114278128226025988957769418600a + 148249645307922148032579002504 )x^{15} + (180309355538361270680492671112a^{2} - 252485891569532030394451935256a - 4006515765355935407362195184 )x^{14} + (-506851065459082431614616107272a^{2} + 131434645355203624208188914952a + 496143547711812169885222821256 )x^{13} + (-563114988531415883406264159584a^{2} + 398867832223872875257854590588a + 611092814839611969377625911928 )x^{12} + (85536569267348675220830273488a^{2} + 53545874148052390822357567056a - 306412450374358137995675448384 )x^{11} + (69430175017325919202223198912a^{2} - 162542767713522121780569286608a + 102541591580222924607398106536 )x^{10} + (-354831172829839980325153175296a^{2} - 44306513448950983507908195112a - 240381016148593860380877288160 )x^{9} + (-112598409948233089101377145048a^{2} + 40973654480819054380734164656a - 279564567361544161452699127512 )x^{8} + (-56997022635421723382730240280a^{2} - 337974600618503016031233926728a + 57823210881436693091009134936 )x^{7} + (520037803852584677138741665696a^{2} + 298572204255926636329629246400a + 505494905331868880490929395808 )x^{6} + (159895799122957477817409100208a^{2} - 189816536796293046386551047536a - 164556596809554658616105997832 )x^{5} + (-352088346410242828999658870464a^{2} - 20492216515053037000551538112a - 616961992115709799530703173064 )x^{4} + (352944836777744182321351846488a^{2} + 72253516609812756126217889792a + 406846074981408881401398332000 )x^{3} + (-503015914518741478589153482952a^{2} - 126277195666660272361721045976a + 270058751736509072147297949232 )x^{2} + (-78563957859527960714877352184a^{2} + 354223793193638713839963782824a + 474288734101596921267455104400 )x + 233493906085812823293156801308a^{2} + 405057594051734782790847739160a + 229632953591034740680307496788 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary