← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.229376_262144_491520.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (220645491959929438752177861016a^{2} - 145653412326266349469442355776a - 175404323689010524163028291004 )x^{47} + (-460958529423928917423108493916a^{2} - 575059583973768692528004483564a + 330897675282938435357412088276 )x^{46} + (122102958399985615943427541020a^{2} + 458584020424440856473716827548a - 236302606476121553722953073294 )x^{45} + (198642888462522008853909450312a^{2} + 193481493960857679687281194308a + 121301165579230298996445933788 )x^{44} + (-491922002700016191384565412028a^{2} - 118075598361199837903292609972a - 72761713580152957719214422792 )x^{43} + (103113986836124020857065789044a^{2} + 209599337417073384866098699960a + 517701180218305209814405773978 )x^{42} + (209313346779059361286764289760a^{2} + 553919384467401730608686302492a - 399131842157703764046146043296 )x^{41} + (464327382085014851080396087596a^{2} + 585170957731018619314092803476a - 43432410795114974878481215136 )x^{40} + (519896303891153060730539414080a^{2} + 314122464275384085089451579272a - 208485006978299999921020414788 )x^{39} + (-311508680079482687778005952040a^{2} + 170172604384592589024473167456a + 602196961884625816062924894912 )x^{38} + (7584263903001059138148061828a^{2} - 394649841476711354699731746820a + 94920846073336686361472627536 )x^{37} + (-545301774704696239939483702992a^{2} - 392205838170755990505390773204a - 454009156199195636354490682224 )x^{36} + (617838107408979802497702573592a^{2} + 110193765460388035560479226944a - 85730339417585786557308388404 )x^{35} + (-28312528525873082419519596784a^{2} + 433652974092205995654732605624a - 138248066027551048983674076804 )x^{34} + (612143358631772145988534991160a^{2} - 595519506011706353005477017924a - 100670550609728833037703608040 )x^{33} + (470198111246634040346480266344a^{2} + 49383100732925996108378381312a + 461958944613508924175865637372 )x^{32} + (31637768015537645450622250824a^{2} - 536428827345608150548708374448a - 281117156426165813299579154864 )x^{31} + (-170438570340830946795352740928a^{2} - 292216130488753419645045846456a + 383119698398772876534074894664 )x^{30} + (478711305413559657476504446368a^{2} + 313141393229835283129932834016a - 311826730054423366532972596452 )x^{29} + (-455261225900435740010406145288a^{2} - 550753915252764474760916140992a + 261356612288881119601565793052 )x^{28} + (-534309373306086980342647221944a^{2} + 521457643588552940449314198432a + 599011343943310325297153058264 )x^{27} + (-433878352288751657276425659392a^{2} + 265531039170717240556403933896a - 367282151132555195232504386844 )x^{26} + (321741492269809370027443910624a^{2} + 613864299410669874474234016584a + 335778646295777421950682853780 )x^{25} + (-541355527296037750547163569512a^{2} - 270241392816848977672374964696a + 556546759369304450573027410324 )x^{24} + (-390581151721261884953458081440a^{2} + 522992944766638584177255590792a - 411295376963819519680670378784 )x^{23} + (-152909214656461760503707636672a^{2} + 77269398390812765978312771568a + 77710014206745304698886525616 )x^{22} + (614301760439014988930215646040a^{2} - 323414483573038835787581542040a + 627663249239084460826490564500 )x^{21} + (407552659829151320139797796624a^{2} - 409870914543716221325793732392a + 337674783240634832072128495768 )x^{20} + (-385421324428782036401983380144a^{2} - 386906166170450832446861177168a - 286468641484449358315548142232 )x^{19} + (-199772447890472708385199364440a^{2} + 466947227689762631724526549528a + 387550181432597296722294719508 )x^{18} + (-546002989571237322586294456192a^{2} - 46571362741578580718861434600a - 515972531627922117598582837224 )x^{17} + (58726059442508135074575018376a^{2} - 260573482788965918438167421224a + 246763041669722875974554002152 )x^{16} + (64409313573156328238619348960a^{2} + 256478874832657205120136670456a + 617464612321913374243567444992 )x^{15} + (228824203868535002764022356688a^{2} + 365441675363586440515873195824a - 449626970738565422879171717928 )x^{14} + (35131051151176563515485557896a^{2} + 519806264394186961052345059016a + 287344774553215388611435665088 )x^{13} + (-486032766903300737026911577456a^{2} + 86956648517702324821358837400a + 479552187378653524477212714676 )x^{12} + (168997582056601632971616625664a^{2} + 22970249797163147137182850784a + 95963481298286822711261893248 )x^{11} + (-528779720786154574200144034976a^{2} + 404034380016603782531064330400a - 262598493626788474133926901984 )x^{10} + (416423347217346374848919810192a^{2} - 382295613647907782354194031368a - 40383326592509486833594228944 )x^{9} + (359097571053257967001996472048a^{2} + 460069915295246973476009589600a - 230760911069309298610162562192 )x^{8} + (-583619104013275889615031953952a^{2} + 441135477258016711773967931968a + 493551038890765983610048396696 )x^{7} + (-5637601182217134777547620384a^{2} + 540015742879017273108901803104a - 271258901891907627515958476256 )x^{6} + (583093116254914293729761864704a^{2} + 577852151632622191711132007808a - 111008631023710157661345665544 )x^{5} + (-107778382838285495980478014736a^{2} - 166407908461980552922106724064a - 500503732577619023654373789672 )x^{4} + (-627023548765157231322850842128a^{2} + 273448923588534979062761700720a - 110867066042571189187414029608 )x^{3} + (-391844008831082895468640892832a^{2} - 57049105047985122650335916064a - 361419297695319603408106411320 )x^{2} + (-119079487720521057220629588656a^{2} - 134369843147587757539134571904a - 244583607128269155190269347816 )x - 323921348912944718498369829888a^{2} + 559078712184641020771013170752a - 90223944164892953904340182052 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary