← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.229376_262144_491520.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (333520134945988621290121426956a^{2} - 8092993913031983791856449552a + 608804003267180811807086509640 )x^{47} + (-259887058091559205186350753376a^{2} - 54464550547171003270018936880a + 394563432892202988041829288056 )x^{46} + (361636107700766070347246184954a^{2} - 524576568852043501518717821306a - 20715107051958474710544782532 )x^{45} + (616471523788370287273834054332a^{2} - 472063303196806268985814525472a - 297582564299178134601567177904 )x^{44} + (-292423815734514668334124735488a^{2} + 33900641187039407684742472908a + 451582451640408604232734439180 )x^{43} + (370935443288127970036172171998a^{2} + 207008585617789560271437571850a + 89231910935356471020252898446 )x^{42} + (586801180389170744327666916484a^{2} + 512406779707131428568443967188a - 53904544912033233539100877888 )x^{41} + (558507679457689966505347855856a^{2} - 178114728213779578604236254444a + 195951503110527639081728031784 )x^{40} + (-565689954842075850926261460332a^{2} + 244508116525700541884139767860a + 591013883796347359700283306688 )x^{39} + (199455086485490517332594755328a^{2} + 300949645144003148631129806680a - 64614781612648313948957106504 )x^{38} + (465993993318799167584862553268a^{2} - 586307625503558163594206974652a + 515238561338756530689566426260 )x^{37} + (437759767812633669744410017440a^{2} + 257439871777053568876814053892a + 326485880127213131497446092524 )x^{36} + (-95035775389465472589587336904a^{2} - 104162825949331812649667931796a + 205313303823879885085816430140 )x^{35} + (224337437842949432330864296264a^{2} + 346883416718908090935957336400a - 39306350134225019561822384404 )x^{34} + (-15301493236416744915625713704a^{2} + 68411808170849179147371546948a - 99228119036712316629589450564 )x^{33} + (151090757319942427508161131128a^{2} + 131014450217417658688008814420a - 260421146168456709355483063292 )x^{32} + (-437404163390541209299596146344a^{2} + 486738064164320958654911596472a + 101090407968497540600554583560 )x^{31} + (326301608696238130553417221200a^{2} + 315401005790240260919613589760a - 187256978466285822225232970000 )x^{30} + (352018205701703562749957777968a^{2} - 247378268788690167099141058068a - 71672616144507634005506860616 )x^{29} + (-15218861512790212766737869576a^{2} + 62095975590543967809117116780a - 575599732494336997100747200552 )x^{28} + (427517069778607010007478831424a^{2} + 503336352428928141254402384504a - 525410909734134619551459267408 )x^{27} + (-212344127914816965738432392852a^{2} - 425054145931311424532042992376a - 276264732349737952204038035056 )x^{26} + (-519184107962584473280803812188a^{2} + 30311674599668418194396717024a - 308776207178331643347801826072 )x^{25} + (239988322352064337436427566348a^{2} + 597296267119408654775359943964a + 40220384674152967909800018520 )x^{24} + (410069973258298734285974401008a^{2} + 512222094516729020684848505440a + 550415467872010561457737550920 )x^{23} + (-532357502381317006910901345152a^{2} - 313300931393351964738335962800a - 13692936217817430071565942560 )x^{22} + (70961749045920712330593309328a^{2} + 609120518078667911708618259548a - 107113856998343640956060257628 )x^{21} + (410109771055878234365416861560a^{2} + 471310106647385321199654848656a - 147956651857800229020920455352 )x^{20} + (-487984111427928158895518317224a^{2} + 413978615390541847515087857648a - 456716197150475556397518413056 )x^{19} + (-123146032665804153370028062108a^{2} - 332146020563918346942943191196a - 155184945761223453059627962424 )x^{18} + (56402672860128252655219203720a^{2} + 271877083430915887229433531928a + 568232900831879099591952806744 )x^{17} + (27571216356331175724828688328a^{2} - 263199589856569256554667836048a + 365798910130464046516988856472 )x^{16} + (-591235625015015975529071930056a^{2} + 320951188016805286133722376912a + 506693149784130493512443600672 )x^{15} + (-524962598869188050036215496864a^{2} - 143338749368607932488581365560a + 89302758888617771174527828864 )x^{14} + (-580778116792087956420538286080a^{2} + 359264609652102827316477963752a - 197887759261386735936768542080 )x^{13} + (-233367803535463361573585313644a^{2} + 463720236327258626004416634688a + 250735674813735659499080231168 )x^{12} + (54354822913593192345229992672a^{2} + 559582001634885761905737396752a + 461335438929544419095629408816 )x^{11} + (-472590354409677922230070923504a^{2} - 69002678985649856457404056064a + 606695946881197761709439361320 )x^{10} + (-316294644913888585638349025768a^{2} + 194568497781108356779250985816a + 610035958656068328044795185272 )x^{9} + (-38675530944171884243542386952a^{2} - 354672846983811134313977974856a - 488476978950054912799672522328 )x^{8} + (-129136159586014551249789952704a^{2} - 128270092340989087085172665304a - 474900909112710576789595704056 )x^{7} + (588777784525549323912814726656a^{2} + 4615708321814355140452950224a - 365496246087851417051477327408 )x^{6} + (117692255683390569072246012144a^{2} + 5388312884913968515608982096a - 267674820544448032594102044648 )x^{5} + (166728075382934074339273625824a^{2} + 575276756521945575662405130080a + 395548143367596656789347004248 )x^{4} + (444344270264865280331995419208a^{2} - 529370446714048195954034630296a + 602106548999097246876706334512 )x^{3} + (244285486156461876383923691584a^{2} - 442564747792806199458586225208a + 234605962036257469315638913376 )x^{2} + (187505083043225694734039141456a^{2} + 128953585621544193209235127528a + 81037918694006734935637835648 )x + 503807051402460433002657649772a^{2} + 234089199826094642092183822436a + 136885506194087983471552995220 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary