← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.229376_262144_491520.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((103838377683031915502795146236a^{2} - 61174766308126885223263275176a - 72418158842366714842018722698)\mu_3 - 95934129992815479302963098944a^{2} - 143228153837424935766745492026a - 68816932454631393881201681879)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b^{2} + ((a^{2} - a)\mu_3 + (4a^{2} + a))b + ((-a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - a - 2)))c + ((-3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2)b^{2} + ((3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 3a^{2} - 2)b + (4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a - 1))b^{2} + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4)b + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 4)))c + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b^{2} + ((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - a + 1))b + (4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 4a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + a)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2}))c + ((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2})b + (4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a + 2)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 1))b^{2} + ((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} - 2a - 2)b + ((-2a + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2))c + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 3)b + (4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + a + 1)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2))b + (4a^{2}\mu_3 + (2a^{2} - a + 3)))c + ((4a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 1)b + (-2a + 3)\mu_3 + 4a + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 4)b^{2} + ((a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-3a^{2} - a - 3)\mu_3 + (2a^{2} - 2a + 1)))c + ((2a - 3)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (2a^{2} - a + 2))b + (2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 2a - 3 \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2))b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 3a + 1)))c + ((-a^{2} - 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + a^{2} + 3a - 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((-2a^{2}\mu_3 - 3)b^{2} + ((2a^{2} + 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (3a^{2} + 1))b^{2} + ((-2a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 1))b + (2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (2a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a))\cdot b + ((2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + a)b + 4a\cdot \mu_3 + 4a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a - 2))b^{2} + ((2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + 2a)\cdot b + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2}))c + ((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 1)\mu_3 + (a - 3))b + (4a^{2} + a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 3a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (a^{2} + 4a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 - 2a^{2})b + ((4a^{2} + 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - a + 4)\mu_3 + (3a^{2} + 3a))\cdot b^{2} + ((2a^{2} - 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a + 4)b + (-a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + 2a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2a + 2))b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4))b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4a^{2}))c + ((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b^{2} + ((a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 2)b + (4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 3a)\cdot \mu_3 + (a^{2} + 4a + 2))b^{2} + (-2a\cdot \mu_3 + 2)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - 2)))c + (4\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 1))b + (4a^{2} + a)\mu_3 + 2a^{2} - a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((4a^{2}\mu_3 + (4a^{2} - 2a))\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 4))b + ((4a - 2)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((4a^{2} - 2a + 3)\mu_3 + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a - 2)b + (3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 3a^{2} + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 1))b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 3))b + ((2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 2a - 2))c + ((-2a^{2} + a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} + 3)\mu_3 + (2a^{2} - 3a + 3))b + (-3a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - a^{2} \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + (3a^{2} - 3a + 2))b^{2} + ((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3)b + ((4a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 2)))c + ((3a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 + (a^{2} + 4a))\cdot b + (3a^{2} - a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - a - 1)b^{2} + ((-3a^{2} + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 3)b + 2a^{2}\mu_3)c + ((a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((2a^{2} - 3a - 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + (4a^{2} + 3a - 3)\mu_3 - 3a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + 4)b^{2} + 2b + (4\mu_3 + (4a - 2)))c + ((-2a^{2} - 2a + 2)\mu_3 - 3)b^{2} + (2\mu_3 + (2a + 1))b + 4\mu_3 + 4a^{2} + 4a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 4)\mu_3 - 2)b^{2} + ((2a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a + 2))b + ((2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 4a))\cdot c + ((-2a^{2} - 1)\mu_3 - 2a^{2} + 3a)\cdot b^{2} + ((-2a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a + 4)b + (a^{2} + 1)\mu_3 + 3a^{2} + 4a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} - a + 4)\mu_3 + (4a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 4)b + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (a^{2} - a - 1)))c + ((-2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b^{2} + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (3a^{2} - a - 3))b + (-3a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-11360994505839673438426663980a^{2} - 240099480378801095982460974548a + 169476805762817770565519799932 )x^{47} + (-243194124669600459663824162996a^{2} + 361838523109246665932541938600a - 105576061919490567386701021404 )x^{46} + (-324329428508194969476834917404a^{2} + 475516763428414743231392403922a + 594195116368232901102179424358 )x^{45} + (-62881644652357603069140506772a^{2} + 371444446615194281568388662284a + 328395333305623965967691391824 )x^{44} + (-61215888321394864996682833924a^{2} - 7298756154345031977638541016a + 626667072003681642496217275036 )x^{43} + (-294211995109681211956928731714a^{2} - 296833836579741854322965827728a + 84200787599817753000085244308 )x^{42} + (-246854667725134142688627496556a^{2} - 598204911846921733382169492804a - 164303338699203559507329607188 )x^{41} + (195017697500023650316780208320a^{2} + 259838461424479281882725278016a - 254469726627861954844727111400 )x^{40} + (-131805623198838807983781358808a^{2} + 397623522444535002038090710252a + 30984419336600384508604624420 )x^{39} + (46620566386510489303698632328a^{2} + 397077048280521583792949182408a - 44720836101149806952981384592 )x^{38} + (146524723935213009534107218680a^{2} - 557203873135319097920658249408a - 503961421131574784948940563676 )x^{37} + (-563328035238681057910990708400a^{2} + 414777413418169146524273590688a + 469070975085087149324028698032 )x^{36} + (-260277522697798278367420066236a^{2} - 522356175411165529390968636868a + 604472548936213341606916751808 )x^{35} + (-122786264558428968540672179648a^{2} + 266860749102447247721709316064a - 69687955870434848763124678452 )x^{34} + (405311560123327517477606498812a^{2} - 477984916239643205178749438132a - 187494835979969314171460019208 )x^{33} + (422665944643178936783490414764a^{2} + 209766744931403065902840708960a + 134609902336342616160758529940 )x^{32} + (-391198585291665246169550687312a^{2} + 435115512890965416083541038712a - 134442964221424297270088886856 )x^{31} + (30180937744790493347590262840a^{2} - 215049844778313659093515107736a + 384642263043415562314449547864 )x^{30} + (-483634690647148877307207473372a^{2} + 520777858933236022515709209768a - 347417430766505836330160019204 )x^{29} + (282239307811589066287015471620a^{2} - 497769342971030368793658330936a - 254924266023762849072730269148 )x^{28} + (-143467487040579922140856247016a^{2} + 43793043722599249995700335944a + 445895016889452880966570847296 )x^{27} + (-184474231802391758500331238684a^{2} - 569382881811483614441367626396a - 535269533432156992524330108772 )x^{26} + (-592647324363103334594182171292a^{2} + 400277093270617568820213627388a + 277350360730748222538903281316 )x^{25} + (-434144615133433809873694103832a^{2} + 250687284606858186817151787628a + 151919549754832383875383150732 )x^{24} + (184247806775676964799429053448a^{2} + 62847702968227284964437418816a - 549303204585842935138313192256 )x^{23} + (390479868789102603441235731808a^{2} - 471234687343319942088869418496a - 628039638977644466545273246848 )x^{22} + (-198090797993682743028978533772a^{2} - 485086135760974712264808366860a + 425606333216127124507802146984 )x^{21} + (279685453708819508753786601248a^{2} - 509836347256206231258704614656a - 499606532157498808076287555016 )x^{20} + (158710824535795687211569396312a^{2} + 155682051560935574516525061512a + 590980164719559141020076870376 )x^{19} + (205955814952788097852630596272a^{2} + 196331129827708899608601595676a + 599399614967515929158704530052 )x^{18} + (-418207597274766480189039695408a^{2} + 379811156052755513802010086440a - 589240336706694112013508603232 )x^{17} + (251095123794655129527736840152a^{2} - 140673334733365294456608235048a - 414051458278442599057280005944 )x^{16} + (-432673641857065429469288412480a^{2} + 360635822290257589973365675504a - 279952208066028367189015075480 )x^{15} + (-288171407953461613226965103336a^{2} + 58859432819200183518004586464a + 303975592568938586134232220264 )x^{14} + (-478043419532733808763369552016a^{2} - 484557821641518279524651213936a + 315579557082401282173243461984 )x^{13} + (-28715785967321283877798581004a^{2} - 141222095186936599424418475772a - 326284208502424284321484210412 )x^{12} + (-35728610563900502206792193264a^{2} - 170659690497558893917973457840a - 352152289738277050169432412880 )x^{11} + (-381105835391991397793958576648a^{2} + 163700556062496947490457818448a + 444238476745744156136948861672 )x^{10} + (-457734050569500372200682663992a^{2} + 278933349602993378055411495016a + 475672680372814874199365376768 )x^{9} + (-138221937171592618193459411224a^{2} + 140562045239059626859781729240a - 286665334956276717833499410504 )x^{8} + (-530856930019806962279363001608a^{2} - 429760586153675425500180710648a - 508023170372763054040912104896 )x^{7} + (-311622567328759253433754350960a^{2} + 216101329178561918396001923056a - 275820072757340879514172804864 )x^{6} + (368919981197086367096009209376a^{2} - 61989523087516156175893780016a - 584162547482617756655947751144 )x^{5} + (269216324679073663855634871536a^{2} - 317373763317229004566380693920a - 197209461653929618774904197528 )x^{4} + (-251970593401663506929293804016a^{2} - 207675311524477220969055936216a - 228862233004513823192389182856 )x^{3} + (49658009152884249891461228904a^{2} - 264317945489711675940500800128a - 438213204853576333550227600408 )x^{2} + (375711736597442574070430671032a^{2} + 284926704436196594035570319632a - 312513886752431506954438506504 )x + 507951167132599393840951812156a^{2} - 362444359662325812143005541912a - 310204377464009713051985290520 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary