← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.212992_303104_516096.g

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-346718399181747925697707293028a^{2} - 20612378091102831894258922760a + 371593925202351722874528746976 )x^{47} + (-171348008152355523691609328728a^{2} - 495994382865854516584865366880a - 288548275410813689571394128488 )x^{46} + (-578177414631812901918534519284a^{2} - 69126620876626860220171178654a + 504578441920521487550034554140 )x^{45} + (-430165055343307520469910005816a^{2} - 65737298173135139902195026512a - 89832440649204468430428458024 )x^{44} + (-133051854273266947575882379184a^{2} - 313013040368797109767202041216a + 314944539264178011223273495484 )x^{43} + (600064486757554557975216073812a^{2} - 37344095465535224569774383670a - 456597752757104626396165824012 )x^{42} + (-67556783278771840180379396300a^{2} - 514616639325170318801372765988a - 170872479499984817714825366632 )x^{41} + (-240539369991547413380812749612a^{2} + 365293929430067450110412804048a + 126772995760876277191745527588 )x^{40} + (-425407534472063149100167261976a^{2} + 386372760521760010846310241256a - 592013467043799959876604056464 )x^{39} + (-344920059620091574543811892064a^{2} - 22041974452596475256495119212a + 30876421383564367165320274848 )x^{38} + (436160281410475038406330334692a^{2} - 329933910309703682272141215112a - 355407757469213228805082181108 )x^{37} + (-384390156482001567836756876196a^{2} - 338333874969893989311376024632a + 497936751810008221949806362892 )x^{36} + (-284183640378131534822415820512a^{2} + 139577071749783451528274662592a + 545030656737815164147911358004 )x^{35} + (497138680303476586306285544236a^{2} - 379877008850833221596274867688a - 60070235046771919653710622452 )x^{34} + (320318648631158189328873807324a^{2} + 30897318564579288753935230916a - 491268550493053177491747478828 )x^{33} + (185521857658401643559021613820a^{2} - 175659132065818943256611416744a + 344732034774962935058885051700 )x^{32} + (296701756931581414503448374192a^{2} + 120593476575637348136610623744a - 237582012103360208055703885136 )x^{31} + (479205623038670208599754029172a^{2} + 12179850076772467699516494132a - 233481648344522384112741482916 )x^{30} + (-491846600255747081537470926992a^{2} + 500519918373401741348984777220a + 626320328311911085361643209664 )x^{29} + (568969997648535549819136500460a^{2} + 297268132854462227654611317656a + 455443304999391144015801934352 )x^{28} + (-476573109305585642839340197832a^{2} + 591550600656340153073146202064a - 301694047061661333870476470648 )x^{27} + (211623570423967106155316181496a^{2} - 515222670029725369764609914924a - 407466274513981927587223085856 )x^{26} + (-161004223039739469085316097932a^{2} - 595042636492800760333884159600a - 153815723162242275620525000712 )x^{25} + (-569724161664281418126957926676a^{2} + 318128985150856531458931807048a + 88734653369148806012011166612 )x^{24} + (107573769894656057250466923264a^{2} - 365449649888210714840669346304a - 100382912037709144248586195512 )x^{23} + (-510937713969497742070655405232a^{2} - 269569052829388441133753815536a + 487055191935935116037672321848 )x^{22} + (-434429593020395762106466759664a^{2} - 296703949402323012374125918764a - 350969517028926378731009510876 )x^{21} + (-503366502042468878352691705192a^{2} - 481060501695930764933662056320a + 51388669131725228473899730904 )x^{20} + (-39377740251514556569571676400a^{2} - 622012651336808845265154853896a - 354841477992006712501728018896 )x^{19} + (-566082558781498659283441305648a^{2} + 477784723661694354631658073316a + 334045484441049465315559236140 )x^{18} + (363858882585853094988850308904a^{2} - 85546319437800007342631092200a - 286657047763751957041802914264 )x^{17} + (-381103773498035870440858593440a^{2} + 548653909930238185215897637544a + 477520866913160792345745484568 )x^{16} + (407314549408227931440028060888a^{2} + 587557827618656976013988548224a + 77918909118786869297884980168 )x^{15} + (28376230936882682380551898360a^{2} + 382499606321509619139486626608a + 296675437454156016627297467968 )x^{14} + (-185014215212627600779648906704a^{2} - 557207210363594869952526346336a + 143986880596520934584039868040 )x^{13} + (330623493771687465483991086312a^{2} + 315966149172094249566662485844a + 231004888473916742048838774952 )x^{12} + (-280214691234838801081970322400a^{2} - 370668813828910625780671716296a + 5817910046801914632759831144 )x^{11} + (169299790438988767753349445064a^{2} + 254503902430777607462694592376a - 312552691997305687491548998040 )x^{10} + (-568860518987367744275450189592a^{2} + 98453040203348599820150201912a + 170693848709577985592449045528 )x^{9} + (-417832853630605399857475924072a^{2} - 428366962556595772701707736768a - 610728296062854522457678647144 )x^{8} + (-504946933177835955364170730696a^{2} + 534676698893348075315824611408a - 547630068782369891927053719304 )x^{7} + (-347923973545592191846852872176a^{2} + 217419263706981488610367589488a + 265323682086882989882102994760 )x^{6} + (421449280108331904370486405104a^{2} + 422009088698785437455596817096a + 447112412020915402564927809608 )x^{5} + (599207686414536351606554857464a^{2} + 580271923786521438293523683992a + 557658355757872817912341161040 )x^{4} + (169416638639475442989422428784a^{2} - 565519800582223405951897146352a - 115508518403335452785541844600 )x^{3} + (-449456941639390479972799284960a^{2} + 146966925616481439094630729096a - 355252624699633853356791967208 )x^{2} + (232031668882619747396479569816a^{2} - 561965098033665708622745539336a - 584328462813897136334265508704 )x - 488425461791753796604818855444a^{2} - 49055625526486023015743634268a - 79759654966723271918402806984 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary