← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.212992_303104_516096.f

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-374278690920899803566392532628a^{2} + 254377086084625857373361497036a + 517629628358348567937113854552 )x^{47} + (339898537062453993797294951044a^{2} - 345054018397639270921135267376a - 327805101384093701372724346696 )x^{46} + (-210692967099858858200350575710a^{2} - 299029426019033473390824448966a + 148803675951414466652907672062 )x^{45} + (480817458334244687615626490780a^{2} + 52604639220293593881406477960a + 611438545568003545121186534572 )x^{44} + (-522399140407291810285949039360a^{2} + 593512563686662546254610809400a - 428845154061099334462066468552 )x^{43} + (339881060231281125705634254750a^{2} - 121173601516379209510975385228a - 436947860685535367940417272046 )x^{42} + (-28101963956048968854787307596a^{2} - 405682152806710066198682281100a - 53323530278016660144832866036 )x^{41} + (440092816839018416721015833140a^{2} + 515561272532807428553910317472a + 345373894358436187143159897144 )x^{40} + (-206562208200426942025529015744a^{2} + 37198142798354978799556987996a + 465119732390362240348784160912 )x^{39} + (-33703665827167895406481951944a^{2} + 484739100073008215087349115868a - 382309146217222580733891920636 )x^{38} + (-314746087181069719754276686624a^{2} + 627875322482005220079160135440a - 523813837633204414439881720748 )x^{37} + (-388469743442891737173611566436a^{2} + 364941366549317303607361850528a + 51134745244923019503677096216 )x^{36} + (79285527270983546214735288528a^{2} - 484921220681066659126079508644a - 630150232698451657178678418420 )x^{35} + (-26227065357211637708231393596a^{2} - 350313620518934979562756381696a + 452122563009649890308620438948 )x^{34} + (-49760522664402859502939861948a^{2} - 322783161163698589271967809228a + 25854003024865788838308255316 )x^{33} + (498481237767934453804381961284a^{2} - 287088129979882529493003988808a + 444849798143650467407106546196 )x^{32} + (-254085991144906987156756703888a^{2} + 95186174844405088627177598656a - 549160132463468818290497706872 )x^{31} + (86953770936845792756286653284a^{2} - 373143093887863424225114228304a + 440857026580613255472152488412 )x^{30} + (186779295603692828404448653148a^{2} - 334938858183025025153185619216a + 552480640359642862240085930192 )x^{29} + (398954366582257333546378606384a^{2} + 362640380410945458864507711340a + 158817597686729038835897233380 )x^{28} + (-456451912405888121557277426984a^{2} + 103337068104911657327956911648a + 472575096917237202840679386192 )x^{27} + (19490668886921929046914359000a^{2} - 129222611976117964508429445556a - 204342411495799059828149197116 )x^{26} + (425022710870157389716140125868a^{2} + 507039033762069582912373940092a + 49025039472680838928275156136 )x^{25} + (-333647743289972271787271770324a^{2} + 93039979138240615803501790620a + 355136436415685787531172857992 )x^{24} + (-55092410405520853732844920824a^{2} + 418903889842295910792964788776a - 337962760609849896147287552800 )x^{23} + (-365610197741434857779644762256a^{2} + 513809341145880467464315143656a + 176156271632322770016756142680 )x^{22} + (11657317619900872269135989628a^{2} + 472648222222994385213519070056a - 562287752988751085629136721084 )x^{21} + (318443765447917293047315819120a^{2} - 15091653905592557413517913920a - 515140994067260975415766733088 )x^{20} + (-534872731054886778097022811440a^{2} + 166149615080152391616874292472a - 446757002918167755174370783768 )x^{19} + (371230373670957807324828202808a^{2} + 352227121816626171932452135056a - 541351138171742615591185238644 )x^{18} + (551898669221300436701813698464a^{2} - 161634356349971209476146907608a - 77620142056485354979633653752 )x^{17} + (10858755548071614838250658216a^{2} + 584385630462457769716737633336a + 333502403045895899086090541496 )x^{16} + (-516629963691558015464993661424a^{2} - 486612697427027939920362139632a + 130891493652723035970785675928 )x^{15} + (-538286046471224611733488703184a^{2} - 459148182918565381820559213048a - 200561732312522590861954185128 )x^{14} + (301692830477043772860689535784a^{2} + 512066065567442261662052870768a - 433293842638940184747661254960 )x^{13} + (362615465312224054920800306688a^{2} - 490633590361010466661764396276a + 371476772390419494913840180956 )x^{12} + (32812218455287385489639572616a^{2} + 213186412749365111477466806968a + 207623717197519362292212786648 )x^{11} + (-338521718787083408944760306768a^{2} + 286548188630909618970958246600a + 241002088606649429795354154584 )x^{10} + (221915508278218637427401034160a^{2} + 553501566563167943153938410384a - 245040092142236903957244302192 )x^{9} + (531750954238075319067078564464a^{2} - 468103633347516888568071280056a - 444603026285164531421694418008 )x^{8} + (-117293652176810537988697859608a^{2} - 58061032321750979934578993984a + 421906310009049250825495940816 )x^{7} + (-323234539178019930570686406960a^{2} + 445503368298252287685309656288a - 349012905775956021715527646056 )x^{6} + (-13984012386405358895840742224a^{2} + 94604098047894360833169523448a + 364189759553546212822318846584 )x^{5} + (-350733873448865673495484267048a^{2} + 9436454228837834070568383528a - 8858920690235476933751415248 )x^{4} + (-555560062711014473202313310296a^{2} + 466748313201717746359702284744a - 500463319803085691083072789424 )x^{3} + (177451297376681966306590600664a^{2} + 46957285237775144394596755944a + 210764456803182184223789858576 )x^{2} + (6772774131390144765062411336a^{2} + 188732549399286893680475969496a + 248264153854983500273480247080 )x + 100539003718695624466048954748a^{2} + 415652117906331775041321650280a - 84529912685438712157979980272 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary