← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.212992_303104_516096.e

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (192106014800047467379622193036a^{2} - 575842569442388117382362294896a + 107758975396285019064819680708 )x^{47} + (-158344751255590913579994417688a^{2} + 628192497139775660022278095880a - 425259975781725770626825252692 )x^{46} + (386481467978664506990098986694a^{2} + 375289264500834897016724491548a + 501781616072253964630937197708 )x^{45} + (-562581446129420704323302587140a^{2} - 447652732082293122956020153212a - 514360069517124230344481266160 )x^{44} + (281466209015433298021298343820a^{2} + 507201306110430969138184951308a - 461144269884471679030426116556 )x^{43} + (-345490856810794816653613769590a^{2} - 294656088700994757142580206954a + 188450196392540378778516031244 )x^{42} + (382827738275919815497263680792a^{2} - 505523004758655145301679199440a - 439224034248698912318214419584 )x^{41} + (-558293739918038686705527701056a^{2} - 202925671075136273838671822520a + 368361740622279071523629768836 )x^{40} + (-567741268999050204791333194460a^{2} + 179821508821318123908862852744a - 141004287623047830571734671360 )x^{39} + (148401923143695637730840991012a^{2} - 6145162646088808523934896132a - 37683477763975625364321837820 )x^{38} + (181417966529882085002176569384a^{2} - 388678292946757384218423814256a + 21585797656970389017938034308 )x^{37} + (517534060888842694242805018920a^{2} + 385933476530233234617667021072a + 558293256830959553166397239800 )x^{36} + (-97010525567131270351927845652a^{2} - 400924393928720145311502460240a - 221531928970786139097751368652 )x^{35} + (-609007270932921286599425725972a^{2} - 338668217857480733630841734744a + 248077393135332401965566698724 )x^{34} + (-470634885103813566188364198228a^{2} - 166328915164347225838744753432a - 622228258774237281826631988912 )x^{33} + (-438625138317834062451683537136a^{2} + 199639211665716111526860987288a - 327872515991044658583550108452 )x^{32} + (540187228580873240173250388352a^{2} + 267474176691006187777126856344a - 503945877475593864457474880160 )x^{31} + (-342370752090989706095416077352a^{2} - 253771719314577014501432737256a + 124155561689329994621037212484 )x^{30} + (95066561238346465776794151408a^{2} - 230249782048730078519626482436a + 339693977864758079995399590196 )x^{29} + (524789312043640659666823768028a^{2} - 528258620959403765511459946092a + 533902641135924904046659477200 )x^{28} + (-321133704773266087541187792392a^{2} + 273400652059459207530578118336a - 301362529660865388222686479896 )x^{27} + (531548135552425518835196386804a^{2} - 125500113172431423555023398100a + 218235106276392233551826017324 )x^{26} + (285624332260586341737897228916a^{2} + 16232474590994714695297802176a + 315543659272887514631248143692 )x^{25} + (616985333931613677885165504004a^{2} - 339069654774924698839542661616a + 41587130222992160289650048268 )x^{24} + (125700492042795057686896346824a^{2} + 355868366527503353003315850112a + 280207735236882047889918261048 )x^{23} + (282004285389125676602794301448a^{2} - 359036589890742301079146229744a - 158887830362734982457420380376 )x^{22} + (-123807545465532705815295097764a^{2} + 127504353146013579798955855408a - 402249221656968289573421520656 )x^{21} + (558156051630654535891022597496a^{2} - 282693093443800281850596780224a + 507627707914521808465907520648 )x^{20} + (383344844186911782225806876904a^{2} + 400675167338162078788057448568a + 49326039353170643290846908344 )x^{19} + (490951529788844023602565573396a^{2} + 489801418955660666367046728764a - 197707942463485454138981727152 )x^{18} + (-338158133879625786037629396824a^{2} - 585077380965894394933999859208a - 109556996522486311935666299040 )x^{17} + (155217765551025294742018065992a^{2} + 281321292651744771617340357848a + 181950990927850932680349073640 )x^{16} + (-293483618905154209349728067600a^{2} + 291389344575032794516435908952a - 552948769164263997615919890608 )x^{15} + (54729200781055649579713185416a^{2} - 614269377177247294184446626648a + 400891554308716759279347905840 )x^{14} + (192760932152568157925940272192a^{2} + 343057990528961250919311926472a + 502503323060259339114067631584 )x^{13} + (-415544379197059085505477142980a^{2} + 556338133350900519202496468116a + 44230941752569527942364682244 )x^{12} + (12578809658806400743709535648a^{2} + 80054516092013102892911203248a + 139974860563339100788172515160 )x^{11} + (347704630583481671261844685240a^{2} + 587640930719237639436946308344a + 599200184427319880585712644432 )x^{10} + (-563721343623918224427029386080a^{2} - 561649160480501799285586749376a + 198589295162864160336604512344 )x^{9} + (-30221714522664522292054613624a^{2} + 515837716533744768205970253960a + 248999551505063765478103023992 )x^{8} + (617746685433558855786255114552a^{2} + 509119208013681447881003587736a + 171088189778762892880765436456 )x^{7} + (-308095496642717002933520625856a^{2} - 348063695937391946383141119808a - 537663035076586043101508637080 )x^{6} + (-581276264592506192021143325328a^{2} - 297967522798481373242111618920a + 410090369735871103617859992504 )x^{5} + (-117145647221065001308482528872a^{2} - 144081755133638459232801111496a + 577364762179196748538506933648 )x^{4} + (-345377562002754550729479216336a^{2} + 320664429537954467674706973336a - 365110860462654578664786610096 )x^{3} + (75075562894428878615458966168a^{2} + 383687586172382358269474629336a + 227484451650516747383737216728 )x^{2} + (457630982372124776966162819320a^{2} - 144612692982865915888877546992a + 500920320258166567694225780072 )x + 484607561855756515343525166088a^{2} - 14073622917138783873241692560a + 140417927544571813165597378748 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary