← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.212992_303104_516096.d

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 3 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (164545723060895589510936953436a^{2} - 300853105266659428114741875100a + 253794678552281864127404788284 )x^{47} + (-262185382224669802167621487204a^{2} + 468083921162322722884104820120a + 266665962034142028692123618372 )x^{46} + (-623739669752883132817675895640a^{2} - 253212184210278738315706304248a - 165108591045724515415399361602 )x^{45} + (-120081055754678582924628328804a^{2} + 357721667074299607758489766272a + 196530948339691006453261394100 )x^{44} + (125665450156333074721635681140a^{2} - 358345612323116178142387661596a + 389550307061195092305244038192 )x^{43} + (-126614974620102667571895875834a^{2} + 316355910464063472996075811734a + 42341271012569594131801487626 )x^{42} + (-497068144232745992733747173988a^{2} - 289526420970451330426196685424a - 256147754230618679155261811724 )x^{41} + (-211907396965651824933871034600a^{2} + 35707557498149027624157493084a - 589704032598678861835265369260 )x^{40} + (3422338862425190535842776028a^{2} + 580014106027251364247513020620a - 266614064494568692126546719304 )x^{39} + (120851110129655900343514550276a^{2} + 184146836351549897951458193204a - 613229540791901681547881964544 )x^{38} + (-50077464727698995167568294676a^{2} - 377804814899130841688750234720a - 426707814752866496352827406616 )x^{37} + (83073614146452120612700806924a^{2} - 383355889447860000451468053324a + 158564350921282241482493965744 )x^{36} + (-470787956590821455256449350472a^{2} - 533920443599833198615940262332a + 96063627864966413459914974640 )x^{35} + (320725962475638994972975332588a^{2} + 598969853670557280672577656568a + 443403194232718793129785602932 )x^{34} + (595541515575898063511206959124a^{2} + 207695575411214875134545298452a + 512710536369230396410895669688 )x^{33} + (-26243769828940114835968719960a^{2} - 102966309525203638596055791968a - 622547070516557355742737959740 )x^{32} + (49581398556386859090766469408a^{2} - 377018379181961316201164010488a - 111752188828774157728544540632 )x^{31} + (-453327624838967440727669867600a^{2} - 433942842161238861262958311276a - 156689262572046491995487376364 )x^{30} + (-230833011994748490871030078972a^{2} - 493987973617609587322488458112a - 111056955748422992700784808036 )x^{29} + (-59764909095998006849614181120a^{2} + 565402191621489802968217629800a - 189138166205491743671952048284 )x^{28} + (395449357024217092515297721880a^{2} - 417385977467547805872295090464a + 409721899466350771249625217984 )x^{27} + (-299333065221215977824561514620a^{2} + 357434762741602444320276792436a - 185062958445078096360220746880 )x^{26} + (88853091820905863517656904676a^{2} + 155629013426271653504070005508a - 411517926063971813414209543652 )x^{25} + (379218193277637325911228179468a^{2} - 378063116741980143451500710304a - 378458766706481885431320099096 )x^{24} + (102302493524410953478782247176a^{2} - 274623935728642884249339020984a + 78022863076723869963244246320 )x^{23} + (-211129982655676429188368734864a^{2} - 624816823273808155466877105624a - 259856389794327566819663869520 )x^{22} + (512501078622837540621255698876a^{2} + 517293655280640900693555196188a + 225788573122081483612275612904 )x^{21} + (446200676427359486045331924544a^{2} + 123702643055967799024003297600a + 444231596227667649946040490408 )x^{20} + (-620134348459920010229369336056a^{2} - 626168418750416846595808078584a + 453698563650689092974362705856 )x^{19} + (410095612905091652667955595436a^{2} + 405221475022177038315787376312a + 138552407860951886812697300632 )x^{18} + (82203203962547100996328452848a^{2} - 141498432022490393499116224880a - 133586528368072543856376117656 )x^{17} + (601167842784621823151605123280a^{2} + 34545425685220718991838160360a - 198620924100600341075600939648 )x^{16} + (18706190798476200281639171864a^{2} - 4645755857207885143770780824a + 163867971076354257640871458272 )x^{15} + (-593543950526095908142607857744a^{2} - 456202424204775725942513430448a - 609335033425659148855404514968 )x^{14} + (-224164359158153362653005281856a^{2} - 158988115566101826491252473136a - 205889727761789110266897821616 )x^{13} + (565823401522996325241102668300a^{2} - 509830746846015153443303950492a + 460857899516012603750469844024 )x^{12} + (-461767625382299123373225150328a^{2} - 512599687299455587407833679696a + 28365224548738084949274071048 )x^{11} + (-369105372284253391148136823704a^{2} + 73348037241741025510291024632a + 541463231250406812639349738904 )x^{10} + (59148666548296854550607822376a^{2} - 627394797570323860992470090272a - 451889814857652334422957092184 )x^{9} + (-73069785441551672453921490112a^{2} + 605589580434186030334480760072a - 471739782183493105698987211464 )x^{8} + (-463772745149720169847113115536a^{2} - 415893245340837344453624745872a - 205310108015915706960916887656 )x^{7} + (515158566322925303364533557872a^{2} - 477520895832437103449991354288a - 314393679326981496311723928424 )x^{6} + (-490143120075440317380226576384a^{2} + 401308173811679029364025019656a - 310424058632569027910391772088 )x^{5} + (-400206969223112943883575190472a^{2} - 274529850089640595204370077880a - 558177635134531650771225523504 )x^{4} + (524040120004709967976199818376a^{2} + 166641727094932005944094576000a + 566805395317037293333253962904 )x^{3} + (369253259404739285118754789504a^{2} - 314440641173562008391408918664a - 474679441462038782223586708128 )x^{2} + (-153166156667782950923170335048a^{2} - 556179387846617693010312314032a - 307282373879191561548006556720 )x + 546487562968632167354837966664a^{2} + 439498545131461549230287340580a - 548273081516066110826289183272 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary