← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.212992_303104_516096.c

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (629536959501262894120601606480a^{2} - 284447327897169535703967989028a - 458625730324662251881195044956 )x^{47} + (131873812836355122468968348032a^{2} + 171706989648443728711683204676a - 469292157443095871689606094908 )x^{46} + (439588506798354859814241820680a^{2} - 266664826734694724231665696802a - 452271982033656531616771331566 )x^{45} + (-571108169083265092800871635980a^{2} + 624507121273105611578406979188a + 329921665597475012231872561968 )x^{44} + (58730279527500596806207259604a^{2} + 99787696928448699999746956508a - 78486312342674049152099237108 )x^{43} + (-221324144024481272076090776036a^{2} - 364112389393960584514844622832a - 530499954856913911235981538134 )x^{42} + (298610503457054076470872939536a^{2} - 216804984202885295448133244764a - 618180282422781392936242636048 )x^{41} + (-543545097034378286295664181284a^{2} + 89343816922752645655691624296a + 570389095651612103361691652620 )x^{40} + (-434899750633712738813908978932a^{2} - 525532271574045003527164952548a + 553484031531798138573785094544 )x^{39} + (371163463236159059134177621940a^{2} + 13073577750868438557123647768a - 201977649926986527317692942776 )x^{38} + (498894717953574097748599151844a^{2} + 205590667849904643077950045296a - 405772381347459213346196780440 )x^{37} + (573685757314865183832372614532a^{2} + 232985662136909709893808819380a + 410364526805226903525821351688 )x^{36} + (622174592808527534364963173188a^{2} - 470961108795903013009766125476a + 346753261897456381967726726700 )x^{35} + (88497618452557220744432459060a^{2} - 520430503323543671065359640656a - 423490566054592690971862800516 )x^{34} + (494581627822722228825120714808a^{2} + 520135284425925294158336018300a + 83358797505416580847296938836 )x^{33} + (-429402703817856307349639460364a^{2} + 599951629488524859375497635580a - 307370461323703326982654596856 )x^{32} + (-99864956921427151666579760464a^{2} + 316255887806323413904957429288a - 594679406099184686001724714888 )x^{31} + (346031890868821824341822881380a^{2} - 83510356150417164242029858144a - 332526189035194698332868143624 )x^{30} + (-30602695743530076014185044228a^{2} + 320105503311103095786008661476a + 388989823127704759907445235004 )x^{29} + (-40022355998439953910341534388a^{2} - 548877910771442929473659423912a + 288265568142530968403785061060 )x^{28} + (-266941718933712643987818751640a^{2} + 261942890420896176100551812696a - 213927300807758839360168982568 )x^{27} + (32260589278617794174310646596a^{2} - 188633834951865581859521622472a - 457549417849834671172719242928 )x^{26} + (284396403628493170232767184336a^{2} - 579008170598323051955294263828a - 429877724906548824481261471764 )x^{25} + (298175182738533923442749678800a^{2} + 244135326867513679481495473360a + 163979984666373378128273202608 )x^{24} + (-508848591198715188524979088712a^{2} + 258986955700000252345953859824a - 493290535583185457357423577384 )x^{23} + (-116338037416682906463709816536a^{2} - 12513616882948989075985533864a + 548707661631925520528989957736 )x^{22} + (-416209770214148169591200957024a^{2} + 561025924868925004428408759988a - 366014377424064524115008513576 )x^{21} + (-144824887987096849206848385864a^{2} + 58018408238117248878251387720a - 274980432892168804543235778720 )x^{20} + (-452498896943103999516062188392a^{2} + 195200823961681271007794386768a - 23318682564311105673671914800 )x^{19} + (-343547208883087182571079061452a^{2} - 500683470927022343371212185364a + 550626502926423348403513243956 )x^{18} + (-341651870202026866098102261176a^{2} + 594219315695252200437502390800a + 380031632625072923310958965176 )x^{17} + (500436426951008587133252643832a^{2} - 428976888930311841040717965840a + 268783773081572890876364344000 )x^{16} + (-41510325368886961247808303344a^{2} - 388639384396038182849368338824a - 393004688757963350782484545752 )x^{15} + (-519025501069071475166939139880a^{2} - 57562982859787117784991815232a + 437417491578754775255254655016 )x^{14} + (342116241842970156666753517096a^{2} + 334241789366404530506553839016a + 462414975395800197981445359912 )x^{13} + (-282736260604969267838021624988a^{2} - 628310280097790560323086382872a - 409145038163395044091569525672 )x^{12} + (-386721609022079876920433161240a^{2} - 457344674250340312010364298568a - 9912891402071850431654006848 )x^{11} + (255483191077764425555303611816a^{2} - 608793728978427048498340923032a - 173891850827901862728261886712 )x^{10} + (-580659271349982300919667334136a^{2} - 344548029284225400945460118712a + 449536001721246768362053433696 )x^{9} + (-623717541922450145542749693848a^{2} + 412826162008246332652210781000a + 395290362603805613943554060408 )x^{8} + (-198483602041019674977285611528a^{2} + 171265804053696446658264855432a - 256054674984599124706741824672 )x^{7} + (331964716506439913861948474080a^{2} + 89639204417458055692926020560a - 296078140469969593216908273176 )x^{6} + (-262363239772425964571187630688a^{2} - 11686549788581970199351263816a - 395700474693349065870147672920 )x^{5} + (-578828328015294314329124527096a^{2} + 34639399398512736131796075416a - 150602651038995518903665990512 )x^{4} + (-198313168302397292735665145528a^{2} - 184463439335559668691179596192a + 40911575142371559202071986432 )x^{3} + (-476484534850525743189486757360a^{2} - 235720156532672543825202186368a - 293855220404467380465156283704 )x^{2} + (509383275273690815491944436752a^{2} + 394991523857561342479208259800a - 165922394532746708490902091840 )x - 294932185718693991538327227824a^{2} - 391307923717739853993453473180a + 89064228092871076751320391396 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary