← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.212992_303104_516096.b

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-82883449375681221887998226760a^{2} + 518212035890692561183070563304a + 80198683657133141196134441108 )x^{47} + (-286588297077190750294585100772a^{2} + 159598669642022903653745902604a + 216052111165788896507786507796 )x^{46} + (473604675145967015471256776914a^{2} - 93204506447697664704460861594a + 580069549823071285746646351652 )x^{45} + (-209437769367033843344889398164a^{2} - 374572420592802872022631671744a - 233860516526813108055155396704 )x^{44} + (-116716210316208702803111612476a^{2} - 386937994839320269670106324772a + 253238134798789951259147368528 )x^{43} + (539716548085910133297336126576a^{2} - 553479706547014802797983331266a + 488154513797717518228208973842 )x^{42} + (-301432852008380466132341376144a^{2} - 468789087646299340232980596256a + 331644523939472941503371791188 )x^{41} + (471551791489208347104576490992a^{2} + 84291318821537272767340241532a + 292835303135510560131739662972 )x^{40} + (-348596495022164886041730638460a^{2} - 398495967952564255298570611008a + 599739311897013584556411288464 )x^{39} + (294307524369487693825794058524a^{2} + 124016911242634121221658690472a + 411633936832673126882760526132 )x^{38} + (592010370803236242723062354176a^{2} + 486233222985560428878360526820a + 213201886330459517829110380408 )x^{37} + (-458070333303538968820782890672a^{2} - 441306632319688174386279761784a + 492837196625064325620777632328 )x^{36} + (373584008950557392280143585772a^{2} + 304496389414957774554865610228a - 577113832364831926671056808120 )x^{35} + (217442023630834217226558822436a^{2} - 175986783216104971245932592480a - 485887875422085746705444657932 )x^{34} + (458805947478359602108315335284a^{2} + 312945314711539984218355750980a + 317485949495940464007475319212 )x^{33} + (-212532035605936347349969674284a^{2} + 248384748590731668493512506916a - 417994301758630558479096020160 )x^{32} + (-382813172887009699452968062784a^{2} + 508358349816770701577149177960a + 595810821722337003722132105456 )x^{31} + (305791836081008844306447809724a^{2} + 380935233475710325952932915092a - 484681315876760161775426493752 )x^{30} + (55335315052135360073463408160a^{2} + 527466855817405175627388576800a - 41741602134926632968248770548 )x^{29} + (-13989309326225611279721514928a^{2} - 282209858549774104104794176988a + 255755935175901734512150784496 )x^{28} + (-427899087182863182397793811928a^{2} + 257860920460613549544628935288a - 558366694186228490324392854720 )x^{27} + (596411090858660362635450497588a^{2} + 566764283457817885106241322744a + 145621343461627616061793289836 )x^{26} + (466361403441953180999997704952a^{2} - 326797679321924920397487813392a - 560261602052882236583784645660 )x^{25} + (-149461697006315445776633302068a^{2} - 151810166490094601297295692028a + 86787835275472294867516629988 )x^{24} + (429725930819335731064341460304a^{2} - 49953849825874296710430880a - 178007174687566965984017094904 )x^{23} + (-31503631928427979805994557032a^{2} + 517401228401817221180281110984a + 205185084870681938609247205104 )x^{22} + (-52168113710045839135035764264a^{2} + 232229586112657146138907108632a + 543049626061225150082442634268 )x^{21} + (-155969076728263772734676292488a^{2} - 264551347330005638170330904192a + 510003993700114201745082598632 )x^{20} + (-292313564543445467384275647048a^{2} + 169333165279532901619828708160a - 456540484753831965682578047896 )x^{19} + (-173061709198353229986034873932a^{2} - 284539013690731879639216688896a + 616915325013637322428380872828 )x^{18} + (-192707066226949920810967038296a^{2} + 113426712521465846207113138184a + 451633998059702287445017137624 )x^{17} + (-81084593304096990906279140224a^{2} + 506111762685636298550291959656a - 86125311052225077091918096512 )x^{16} + (413999648143943968253739862552a^{2} + 549775714295517627874259883512a + 107293615866532059250439775944 )x^{15} + (-337713521145431428534408790912a^{2} - 506738991374081396150103009336a + 310901204341318669655507861600 )x^{14} + (265912833284225796916995402736a^{2} + 524585448244293825591389722360a + 549862834341007679168794339768 )x^{13} + (291918536558343397204669382772a^{2} + 227654066027639512054890755352a + 611347638812663544484461549340 )x^{12} + (342702979408433996609229943744a^{2} + 423160757144723017102021775704a + 508227951769846374737765786352 )x^{11} + (-25201989582681867649101633072a^{2} + 445387144464071701756912334328a + 408014266170948953256367932624 )x^{10} + (-372838158208787832771571868952a^{2} + 493876904086780194449907772360a - 283374119418527589726958053144 )x^{9} + (-520313224868645598386161596440a^{2} + 351927991742135932644800528736a - 319969855206108176670973625800 )x^{8} + (-511044071627768502876572574160a^{2} + 481207709755713612213155469256a - 434584288402870038328017969176 )x^{7} + (-562331871247975829468197200256a^{2} + 584736149442371355442691560464a - 403723965505301980016463590552 )x^{6} + (-196933434400749249865896705280a^{2} - 145397272911748720257911991688a + 29055814816615988968648514920 )x^{5} + (14196567541284585204333292872a^{2} + 482648678851034568100630722104a - 136805422091258879321122122912 )x^{4} + (-628616010856964904038302301904a^{2} - 245955638763895192314779230392a - 322111210665096762578394332952 )x^{3} + (-540327109734183540821211424792a^{2} + 328443731308520038182708504576a + 97277693198802981929549576752 )x^{2} + (-527994872025675236291487284336a^{2} - 14953745708212689505303750888a + 241746664554688031143932356792 )x + 112209313535006469029970830708a^{2} + 137240557090888844263719070696a + 354736252517016850122409656940 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary