← Back to 2.3.1.0a1.1

ex.24.4.1.212992_303104_516096.a

Base Field
\(F = \) 2.3.1.0a1.1 \( = \mathbb{Q}_{ 2 }(a) = \mathbb{Q}_{ 2 }[x] / (x^{3} + x + 1 )\) View on LMFDB ↗
Description
exceptional, SL(2,3)
Construction
Extension to \(I_F\) of \( \tau = \operatorname{Ind}^{I_K}_{I_L} \chi \), with \(L, K\) and \(\chi\) as below
Semistability defect
\( e = 24\)
Conductor exponent
\( v(N) = 4\)
Character Order
4

Triply Field

The inertial type \(\tau\) becomes an induction (triply imprimitive) over: \( L = F(\mu_3, b) \), with \(\mu_3\) a root of \(x^2+x+1\) and \(b\) a root of \(x^{3} + 2 \)

Inducing Field

The inertial type \(\tau\) becomes reducible over \(K = L(c)\), \(c\) a root of \(x^{2} - b x + ((126652553918734885685541556826a^{2} - 51662354770601955106139274514a - 19212949847967649221929369772)\mu_3 - 139626927449689614805928451207a^{2} - 90022944843025870146656139100a - 135323906147208499566913444733)b \)

Underlying Character

Character \(\chi^A:\mathcal O_K^\times \to \mathbb C^\times\) with the following properties:

Order
4
Conductor exponent
6
Values on generators of \((\mathcal{O}_K/\mathfrak p^{ 6 })^\times/U_{\mathfrak{p}^{ 6 } }\) :
\(\begin{array}{l} \chi^A\left((((-2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - a^{2} - a + 1)b + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (a + 2)))c + ((-3a^{2} - a + 3)\mu_3 + (a^{2} - 3a + 1))b^{2} + ((2a^{2} - a)\mu_3 - 3a + 4)b + (2a^{2} - 2a - 3)\mu_3 + 2a^{2} + 4a \right) &= i^{ 1 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a - 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a)\cdot b + ((2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 2))c + ((-3a^{2} + 4a - 2)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - a^{2} + 2a + 2)b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a + 1)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 1))b + ((-2a + 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a - 2)))c + ((-2a^{2} + 4a + 1)\mu_3 + (3a^{2} + 4a))\cdot b^{2} + ((3a^{2} - a + 1)\mu_3 + (a^{2} + 2a))\cdot b + (4a^{2} + a + 2)\mu_3 + 4a^{2} - 3a \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 3a + 4))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + 2a^{2})b + ((-2a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((3a^{2} + 4a + 2)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 2)b^{2} + ((-a^{2} + a - 2)\mu_3 - a^{2} + 4a + 4)b + (2a^{2} - a + 2)\mu_3 - 3a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a + 4)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 3a - 2))b + ((-3a - 1)\mu_3 + (a^{2} + 3a - 2)))c + ((2a^{2} - 2)\mu_3 + (2a + 4))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (2a^{2} - a - 1))b + (3a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + 4a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a + 1)b^{2} + ((-3a^{2} - 2a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + ((-2a^{2} + a + 2)\mu_3 - 2a^{2} - a + 4))c + (-3\mu_3 + (a^{2} - a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} + a + 2)\mu_3 + (4a^{2} - a + 3))b + (4a^{2} - 2a - 3)\mu_3 - 3a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 3)b^{2} + ((-a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a + 2)b + ((a^{2} - 3)\mu_3 - a^{2} - 3a + 1))c + ((a^{2} + 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 3a + 2)\mu_3 - 3a^{2} + 3a - 1)b + (2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 - 2a - 3 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 2))b^{2} + ((4a^{2} - 2a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2))b + ((2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (2a - 2)))c + ((2a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + 3a - 2))b^{2} + ((3a^{2} - 2a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + 4a - 1)b + (-a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3a - 2))b^{2} + (-2a^{2}\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((-2a^{2} - 2a - 2)\mu_3 + (2a^{2} + 4a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 2)\mu_3 - 3a^{2} - a - 3)b^{2} + ((3a^{2} - 3a - 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2a))\cdot b + (-2a^{2} + a - 2)\mu_3 + 2a^{2} - 3a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((-3a^{2} + 4a + 1)\mu_3 - 3a^{2})b^{2} + ((-2a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 2)b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 - 2a))\cdot c + ((-2a^{2} - 2a + 1)\mu_3 + (2a^{2} + a))b^{2} + ((a^{2} - 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} + 4a + 1))b + (a^{2} - 1)\mu_3 - a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((-a^{2} + 3a + 2)\mu_3 + (3a^{2} + a + 3))b^{2} + ((4a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + (4a - 2))b + ((4a - 2)\mu_3 - 2a + 2))c + ((3a + 4)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 2))b^{2} + ((-3a^{2} - 1)\mu_3 + (3a^{2} + a - 1))b + (-3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} - 2a - 2)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 2)b^{2} + ((4a^{2} + 2a - 2)\mu_3 + 4)b + ((4a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a + 4)))c + ((4a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (2a^{2} + 3a + 1))b^{2} + ((2a + 2)\mu_3 - a^{2} - 2a + 4)b + (-2a^{2} + 4a + 2)\mu_3 + 4a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} - 2a + 3)\mu_3 - 2a + 3)b^{2} + ((-2a^{2} + 2a - 1)\mu_3 + (2a^{2} - 2a - 3))b + ((4a^{2} - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((-3a^{2} + 4a - 1)\mu_3 - 2a^{2} + a + 2)b^{2} + (a^{2}\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 4))b + 2a\cdot \mu_3 + 4a^{2} - 2a - 1 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b^{2} + (-2a^{2} - 2a)\cdot b + 2a^{2}\mu_3)c + ((4a^{2} + 4a + 3)\mu_3 + (4a^{2} + a + 2))b^{2} + ((a^{2} + 2a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1)b + (-3a^{2} + 3)\mu_3 + 3a^{2} + 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + 4a + 3)\mu_3 - 3a^{2} + a - 3)b^{2} + (4a^{2}\mu_3 - 3a^{2} + 3a + 4)b + ((-2a^{2} + 4a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 2)))c + ((a^{2} + 2a + 2)\mu_3 + (a^{2} - 2a + 1))b^{2} + ((-3a^{2} + 4a)\cdot \mu_3 + (4a^{2} + 2a + 4))b + (4a^{2} + 2)\mu_3 + 2a^{2} + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((3a^{2} + a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a)\cdot b^{2} + ((-3a^{2} + 2a)\cdot \mu_3 + (3a^{2} + a + 1))b + ((2a^{2} + a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + a - 2)))c + ((-a^{2} + 4a + 4)\mu_3 - a^{2} - a + 4)b^{2} + ((-3a^{2} + 2a + 1)\mu_3 - a^{2} - 3a - 1)b + 4a\cdot \mu_3 - 2a^{2} + 2a - 1 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} + 3a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b^{2} + ((a^{2} + 1)\mu_3 + (4a^{2} + 3a + 3))b + ((-2a^{2} - 2a + 4)\mu_3 + (2a^{2} - 2a)))\cdot c + ((3a^{2} - a - 2)\mu_3 + (2a^{2} - 3))b^{2} + ((-a^{2} + a + 1)\mu_3 + (2a - 1))b + (2a^{2} - 3a + 3)\mu_3 + a^{2} + 3a + 3 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left(((2a\cdot \mu_3 + 4a)\cdot b^{2} + ((4a^{2} + 2a + 4)\mu_3 - 2a^{2} + 4a + 4)b - 2a\cdot \mu_3 + 2a^{2} + 2a)\cdot c + ((2a^{2} + 2a - 3)\mu_3 - 2a^{2} - 3a - 2)b^{2} + ((-3a^{2} + 4a - 3)\mu_3 + (4a + 1))b + (-a^{2} - 3)\mu_3 - 3a^{2} - 2a + 4 \right) &= i^{ 2 } \\ \chi^A\left((((2a^{2} - 3a + 4)\mu_3 + (3a + 2))b^{2} + ((-2a^{2} + 4a - 2)\mu_3 + (4a^{2} - 2))b + ((-2a^{2} + 4)\mu_3 + (2a^{2} + 2a + 2)))c + ((-3a^{2} + 4)\mu_3 - a^{2} - 3a - 3)b^{2} + ((-a^{2} - a + 1)\mu_3 + (3a^{2} - 2))b + (2a^{2} + a + 2)\mu_3 + 2a^{2} + a + 2 \right) &= i^{ 0 } \\ \chi^A\left((((4a^{2} + 3a + 3)\mu_3 + (a^{2} + 2a - 3))b^{2} + ((-3a + 1)\mu_3 - 3a^{2} - 3a - 3)b + ((2a + 4)\mu_3 + (4a^{2} + 4a + 3)))c + ((4a^{2} - 3a + 3)\mu_3 - 2a^{2} + 2a + 1)b^{2} + ((4a^{2} + 3a + 1)\mu_3 - 2a^{2} - 3a + 4)b + (4a^{2} - a - 1)\mu_3 - a^{2} + a + 1 \right) &= i^{ 1 } \end{array} \)

Inertia Polynomial

The following polynomial defines a field \(L\) such that \(L^{un}\) is the fixed field of \(\tau\).
\( x^{48} + (-99289226745171114298772112832a^{2} + 427973080979774580304631844212a + 545189920097500445805799094152 )x^{47} + (-479322960153578838536445355008a^{2} - 91206708782590342301236484668a - 16015541855342595808588064008 )x^{46} + (272615420041477008207750099294a^{2} + 441531773873863342675402574820a + 435419883634468384830094211070 )x^{45} + (97561975546907337923742838484a^{2} + 412282875862505168680720135416a - 389917877945641764258996706656 )x^{44} + (201910081084583550549744028104a^{2} - 21525254490644710456674667016a + 277670402754557966929207857572 )x^{43} + (-235794508597587868425419843666a^{2} - 343347888561053188638890000892a - 75561356352695346128560330684 )x^{42} + (473689947980599624011501182676a^{2} + 34808967503277870491842997936a - 261624857466693882900309717504 )x^{41} + (-3886281158108672207772703380a^{2} - 465464250842384863226653997072a - 564671361944491933351525531624 )x^{40} + (317241384440572782540265059400a^{2} + 135795631383791986235647137540a - 357820854590909828892482349816 )x^{39} + (133673537964001926319805556296a^{2} + 517520348890518116763139930680a - 157797523093331462329523841548 )x^{38} + (-191287418812380301745120308068a^{2} + 499696813095347755506165031804a + 241024882963144455565407333932 )x^{37} + (72935084788320193335068138168a^{2} + 632610647240327912781727264224a - 144882854808384248355811505796 )x^{36} + (-512835267862563513493435719940a^{2} - 441305497591667120325330422016a - 168188501716441549352611179672 )x^{35} + (-73232606648656553969983536164a^{2} + 346456753998758358345443939520a - 428807571548939543887477941324 )x^{34} + (-487284291227088970734263852428a^{2} + 138473496644491497735100616824a - 201383036090298138810567336416 )x^{33} + (-461259588840935996218577579384a^{2} - 231850136467204679159848443668a + 391475903861453055261646113384 )x^{32} + (-73305131285185517638698743280a^{2} - 374425226662885113169828134512a + 84511511293891447605029653192 )x^{31} + (357214115090432639781539220560a^{2} - 305699016053779889154402553460a + 209851608706683560831422314544 )x^{30} + (-317428656324212428639056919572a^{2} - 212034716697374688355146216892a + 310136512436317406959677268216 )x^{29} + (517533455043232056341654388092a^{2} + 51688985553297179245699680596a + 178262438882152190903775650164 )x^{28} + (35352571324585320628176227680a^{2} - 484096065168589555057329278408a + 47728451892170973487799703560 )x^{27} + (-518023307988353638621542527712a^{2} - 214819530478751940714823669816a + 512591346217962322900810042780 )x^{26} + (-110789487830782729492567349120a^{2} + 485778534506884342647209677860a + 453394488928085958332182916208 )x^{25} + (-402266588809079225132386931556a^{2} + 142405466661040831243243190888a + 118457823481493296362984606156 )x^{24} + (632865719360261049385430386144a^{2} - 517370905931858576515538174240a - 577216999892053130394334516640 )x^{23} + (585859909861805308133232609016a^{2} + 478785929927746664957559076624a - 217660556131958688424291270208 )x^{22} + (-252028763359253664639328201356a^{2} + 569438231979944579539973055580a + 172386048083989763338087958924 )x^{21} + (-466950568525140095596312741760a^{2} - 55100330280717615786255230088a - 5901920830248818314020774872 )x^{20} + (-29750101237851292680129023632a^{2} - 264924691232494049035556939440a - 397722450528263823264193135096 )x^{19} + (-512334425856171605887159587872a^{2} + 552499741052833807346420585740a - 542646725709877488784808681816 )x^{18} + (-525326292422168587702804712536a^{2} - 204866657369290124253222397736a - 210476871075339213689737465376 )x^{17} + (348519040750552799063205320168a^{2} + 403544332881904805580133961048a + 168197405174528387208645192136 )x^{16} + (140116003400828277076882276616a^{2} - 233465936318415839588498106400a + 291574827012379617106774455552 )x^{15} + (447368426148023407165727252872a^{2} - 157619099851424962744303174968a + 15299025438139949470036808936 )x^{14} + (78341155774239707679903144792a^{2} + 92256485003679348019390676408a - 370768493246464170027460647312 )x^{13} + (569462010615079472378794872264a^{2} + 46450298686179496338352785104a + 369856222938953208927261604892 )x^{12} + (255980322888712776242469027992a^{2} + 375417128652476273285450512640a + 473355220930471944667922301552 )x^{11} + (79607026853836041017729424352a^{2} + 290267654320212411781179700272a + 135708587630200368341958144224 )x^{10} + (595556430592985749529810102304a^{2} + 301063933056456829273717337880a + 384534658974789847513020773408 )x^{9} + (337126892030634596832299852464a^{2} - 620425279980613540756801006864a + 354161595130975449737075132976 )x^{8} + (-351308829359819820720561186448a^{2} - 584108636661847676916543240840a - 344424268371437867951262238864 )x^{7} + (203280325567554657015109422400a^{2} + 194084628213403733538823487488a + 339023602838811498621327686920 )x^{6} + (-247505619578843547480274197440a^{2} + 602205774283646342946392010264a + 532910554886997066733579644216 )x^{5} + (-275242974095005382225593584376a^{2} + 222152123964544488966602977976a - 115411457778693747895958201440 )x^{4} + (160955797928727673565534264952a^{2} + 525760855683403679470353829496a - 28497234862477810785578718744 )x^{3} + (-388378473116818980758514546664a^{2} + 465753832098283302232862093904a - 465409443641423505782268349768 )x^{2} + (429612567944098224665892389616a^{2} - 168774390718612698702432870624a + 118891547371907053788937852968 )x - 147854348611852275403803839356a^{2} + 313208817738825035886397219460a - 549340645177950295330484836796 \)
← Back to 2.3.1.0a1.1 Summary